Номер 408, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

408. Докажите, что если через точку C проведены к сфере касательная CM (M – точка касания) и прямая, пересекающая сферу в точках A и B, то $CM^2 = CA \cdot CB$.

Дано:

Сфера с центром O и радиусом R.

Точка C, расположенная вне сферы.

Касательная к сфере $CM$, где $M$ - точка касания.

Прямая, проходящая через точку C и пересекающая сферу в точках $A$ и $B$.

Найти:

Доказать, что $CM^2 = CA \cdot CB$.

Решение:

1. Соединим центр сферы $O$ с точкой касания $M$. Радиус $OM$ перпендикулярен касательной $CM$ в точке касания $M$. Следовательно, треугольник $\triangle OCM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle OCM$ имеем:

$OC^2 = OM^2 + CM^2$

Так как $OM$ является радиусом сферы, то $OM = R$. Подставляя это значение, получаем:

$OC^2 = R^2 + CM^2$

Отсюда выразим $CM^2$:

$CM^2 = OC^2 - R^2$

3. Рассмотрим прямую, проходящую через точку C и пересекающую сферу в точках $A$ и $B$. Проведем перпендикуляр $OK$ из центра сферы $O$ к хорде $AB$. Известно, что перпендикуляр, опущенный из центра сферы на хорду, делит ее пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой хорды $AB$, то есть $AK = KB$.

4. Треугольник $\triangle OKA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. По теореме Пифагора для $\triangle OKA$:

$OA^2 = OK^2 + AK^2$

Так как $OA$ является радиусом сферы, то $OA = R$. Подставляя это значение, получаем:

$R^2 = OK^2 + AK^2$

Отсюда выразим $AK^2$:

$AK^2 = R^2 - OK^2$

5. Точки $C$, $A$, $B$ лежат на одной прямой. Так как $K$ - середина отрезка $AB$, то длины отрезков $CA$ и $CB$ можно выразить через $CK$ и $AK$ (или $KB$).

Если $A$ лежит между $C$ и $B$ (что является стандартным расположением для секущей из внешней точки), то $CA = CK - AK$ и $CB = CK + KB = CK + AK$.

Произведение $CA \cdot CB$ равно:

$CA \cdot CB = (CK - AK)(CK + AK)$

$CA \cdot CB = CK^2 - AK^2$

6. Треугольник $\triangle OKC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$, поскольку $OK$ перпендикулярен прямой $CAB$. По теореме Пифагора для $\triangle OKC$:

$OC^2 = OK^2 + CK^2$

Отсюда выразим $CK^2$:

$CK^2 = OC^2 - OK^2$

7. Теперь подставим выражения для $CK^2$ и $AK^2$ в формулу для $CA \cdot CB$:

$CA \cdot CB = (OC^2 - OK^2) - (R^2 - OK^2)$

$CA \cdot CB = OC^2 - OK^2 - R^2 + OK^2$

$CA \cdot CB = OC^2 - R^2$

8. Сравнивая полученные выражения для $CM^2$ и $CA \cdot CB$:

Мы получили $CM^2 = OC^2 - R^2$ и $CA \cdot CB = OC^2 - R^2$.

Следовательно:

$CM^2 = CA \cdot CB$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $CM^2 = CA \cdot CB$.