Номер 414, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

414. a) В каком случае расходуется больше материала: на никелировку двух шаров диаметром 5 см каждый или десяти шаров диаметром 2 см каждый?

б) Что больше: площадь поверхности двух сфер диаметром 1 дм каждая или площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром 2 дм?

a) В каком случае расходуется больше материала: на никелировку двух шаров диаметром 5 см каждый или десяти шаров диаметром 2 см каждый?

Дано:

- Случай 1 (никелировка двух шаров):
- Количество шаров $N_1 = 2$
- Диаметр каждого шара $D_1 = 5 \text{ см}$
- Случай 2 (никелировка десяти шаров):
- Количество шаров $N_2 = 10$
- Диаметр каждого шара $D_2 = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

- $D_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
- $D_2 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

- В каком случае расходуется больше материала (т.е. какая общая площадь поверхности больше: $S_1$ или $S_2$).

Решение:

Материал для никелировки расходуется пропорционально площади поверхности. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = \pi D^2$, где $D$ – диаметр шара.
1. Вычислим общую площадь поверхности для двух шаров диаметром 5 см каждый (Случай 1):
Площадь поверхности одного шара: $S_{шар1} = \pi D_1^2 = \pi (0.05)^2 = 0.0025\pi \text{ м}^2$.
Общая площадь для двух шаров: $S_1 = N_1 \times S_{шар1} = 2 \times 0.0025\pi = 0.005\pi \text{ м}^2$.
2. Вычислим общую площадь поверхности для десяти шаров диаметром 2 см каждый (Случай 2):
Площадь поверхности одного шара: $S_{шар2} = \pi D_2^2 = \pi (0.02)^2 = 0.0004\pi \text{ м}^2$.
Общая площадь для десяти шаров: $S_2 = N_2 \times S_{шар2} = 10 \times 0.0004\pi = 0.004\pi \text{ м}^2$.
3. Сравним полученные площади:
$S_1 = 0.005\pi \text{ м}^2$
$S_2 = 0.004\pi \text{ м}^2$
Так как $0.005\pi > 0.004\pi$, то $S_1 > S_2$. Следовательно, в первом случае расходуется больше материала.

Ответ: В случае никелировки двух шаров диаметром 5 см каждый.

б) Что больше: площадь поверхности двух сфер диаметром 1 дм каждая или площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром 2 дм?

Дано:

- Случай 1 (две сферы):
- Количество сфер $N_3 = 2$
- Диаметр каждой сферы $D_3 = 1 \text{ дм}$
- Случай 2 (правильный тетраэдр):
- Длина ребра тетраэдра $a = 2 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

- $D_3 = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$
- $a = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

- Сравнить площадь поверхности двух сфер ($S_3$) и площадь полной поверхности правильного тетраэдра ($S_4$).

Решение:

1. Вычислим общую площадь поверхности двух сфер.
Площадь поверхности одной сферы: $S_{сфера} = \pi D^2$.
$S_{сфера3} = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi \text{ м}^2$.
Общая площадь двух сфер: $S_3 = N_3 \times S_{сфера3} = 2 \times 0.01\pi = 0.02\pi \text{ м}^2$.
Приближенное значение $S_3 \approx 0.02 \times 3.14159 \approx 0.06283 \text{ м}^2$.
2. Вычислим площадь полной поверхности правильного тетраэдра.
Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $A_{треуг} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.
Площадь полной поверхности тетраэдра: $S_{тетраэдр} = 4 \times A_{треуг} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \sqrt{3} a^2$.
$S_4 = \sqrt{3} (0.2)^2 = \sqrt{3} \times 0.04 = 0.04\sqrt{3} \text{ м}^2$.
Приближенное значение $S_4 \approx 0.04 \times 1.73205 \approx 0.06928 \text{ м}^2$.
3. Сравним полученные площади:
$S_3 \approx 0.06283 \text{ м}^2$
$S_4 \approx 0.06928 \text{ м}^2$
Поскольку $0.06928 > 0.06283$, то $S_4 > S_3$.

Ответ: Площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром 2 дм больше.