Номер 421, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

421. Около цилиндра, высота которого равна 8 см, описан шар. Найдите площадь большого круга этого шара, если разность радиусов шара и основания цилиндра равна 2 см.

Дано:

Высота цилиндра: $h = 8 \text{ см}$

Разность радиуса шара и радиуса основания цилиндра: $R - r = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Высота цилиндра: $h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Разность радиуса шара и радиуса основания цилиндра: $R - r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь большого круга шара: $S_{большого круга}$

Решение:

Когда шар описан около цилиндра, это означает, что цилиндр вписан в шар. Центр шара совпадает с центром цилиндра. Вершины цилиндра (точки на окружностях оснований) лежат на поверхности шара.

Рассмотрим осевое сечение этой фигуры, проходящее через центр шара и ось цилиндра. В этом сечении мы увидим прямоугольник, представляющий осевое сечение цилиндра, вписанный в окружность, представляющую большой круг шара.

Половина высоты цилиндра ($h/2$), радиус основания цилиндра ($r$), и радиус шара ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара является гипотенузой. Применяя теорему Пифагора, получаем соотношение:

$r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2$

Из условия задачи нам даны следующие значения:

$h = 8 \text{ см}$

$R - r = 2 \text{ см}$

Выразим радиус основания цилиндра $r$ через радиус шара $R$:

$r = R - 2 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в уравнение Пифагора:

$(R - 2)^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2 = R^2$

$(R - 2)^2 + 4^2 = R^2$

Раскроем скобки и возведем в квадрат:

$R^2 - 4R + 4 + 16 = R^2$

$R^2 - 4R + 20 = R^2$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения:

$-4R + 20 = 0$

$4R = 20$

$R = \frac{20}{4}$

$R = 5 \text{ см}$

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Подставим найденное значение радиуса шара $R$:

$S_{большого круга} = \pi (5 \text{ см})^2$

$S_{большого круга} = 25\pi \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь большого круга шара составляет $25\pi \text{ см}^2$.