Страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

418. a) Сфера касается сторон треугольника ABC, плоскости которого принадлежит ее центр. Найдите площадь сферы, если $AB = BC = 15$ см, $AC = 24$ см.

б) Каждая сторона ромба, равная $6\sqrt{2}$ см, касается шара, а плоскость ромба удалена от центра шара на расстояние, равное 4 см. Найдите площадь поверхности шара, если площадь ромба равна $36\sqrt{2}$ см$^2$.

а) Сфера касается сторон треугольника ABC, плоскости которого принадлежит ее центр. Найдите площадь сферы, если AB = BC = 15 см, AC = 24 см.

Дано:

• Треугольник $ABC$

• $AB = BC = 15$ см

• $AC = 24$ см

• Сфера касается сторон треугольника

• Центр сферы находится в плоскости треугольника

Перевод в СИ:

• $AB = BC = 0.15$ м

• $AC = 0.24$ м

Найти:

• Площадь сферы ($S_{сферы}$)

Решение:

Так как сфера касается сторон треугольника $ABC$ и ее центр находится в плоскости этого треугольника, то радиус сферы равен радиусу вписанной окружности треугольника $ABC$.

1. Найдем полупериметр треугольника $ABC$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см

2. Треугольник $ABC$ - равнобедренный ($AB = BC$). Найдем высоту $BH$ к основанию $AC$. Высота $BH$ также является медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

3. Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABH$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$BH = \sqrt{81} = 9$ см

4. Найдем площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ см$^2$

5. Радиус вписанной окружности $r$ (и, следовательно, радиус сферы $R$) можно найти по формуле $S = p \cdot r$:

$R = r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{108}{27} = 4$ см

6. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$:

$S_{сферы} = 4\pi (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi$ см$^2$

Ответ: $64\pi$ см$^2$

б) Каждая сторона ромба, равная $6\sqrt{2}$ см, касается шара, а плоскость ромба удалена от центра шара на расстояние, равное 4 см. Найдите площадь поверхности шара, если площадь ромба равна $36\sqrt{2}$ см$^2$.

Дано:

• Сторона ромба $a = 6\sqrt{2}$ см

• Площадь ромба $S_{ромба} = 36\sqrt{2}$ см$^2$

• Расстояние от плоскости ромба до центра шара $d = 4$ см

• Каждая сторона ромба касается шара

Перевод в СИ:

• $a = 6\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м

• $S_{ромба} = 36\sqrt{2} \cdot 10^{-4}$ м$^2$

• $d = 4 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

• Площадь поверхности шара ($S_{шара}$)

Решение:

1. Если каждая сторона ромба касается шара, то это означает, что в ромб можно вписать окружность, и радиус этой окружности ($r_{вписанной}$) связан с радиусом шара ($R$) и расстоянием от центра шара до плоскости ромба ($d$) соотношением:

$R^2 = d^2 + r_{вписанной}^2$

2. Площадь ромба также может быть выражена через его сторону $a$ и высоту $h$: $S_{ромба} = a \cdot h$.

3. В ромб всегда можно вписать окружность, и ее радиус равен половине высоты ромба: $r_{вписанной} = \frac{h}{2}$.

4. Найдем высоту ромба $h$ из формулы площади:

$h = \frac{S_{ромба}}{a} = \frac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 6$ см

5. Найдем радиус вписанной окружности ромба:

$r_{вписанной} = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см

6. Теперь найдем радиус шара $R$ по теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r_{вписанной}^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$R = \sqrt{25} = 5$ см

7. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$:

$S_{шара} = 4\pi (5)^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi$ см$^2$

Ответ: $100\pi$ см$^2$

419. Докажите, что:

а) площадь полной поверхности равностороннего конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса;

б) сумма площадей сфер, диаметры которых равны катетам прямоугольного треугольника, равна площади сферы с диаметром, равным его гипотенузе.

a) площадь полной поверхности равностороннего конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса;

дано

равносторонний конус с радиусом основания $r$, высотой $h$ и образующей $l$. сфера с диаметром $d_{сферы}$, равным высоте конуса.

найти: доказать, что площадь полной поверхности равностороннего конуса $s_{конуса}$ равна площади сферы $s_{сферы}$.

решение

для равностороннего конуса образующая $l$ равна диаметру основания, то есть $l = 2r$.

высота конуса $h$, радиус $r$ и образующая $l$ связаны соотношением по теореме пифагора: $h^2 + r^2 = l^2$.

подставим $l = 2r$ в это соотношение: $h^2 + r^2 = (2r)^2 = 4r^2$.

отсюда получаем связь между высотой и радиусом: $h^2 = 3r^2$.

площадь полной поверхности конуса $s_{конуса}$ определяется как сумма площади основания и площади боковой поверхности: $s_{конуса} = \pi r^2 + \pi r l$.

подставим $l = 2r$: $s_{конуса} = \pi r^2 + \pi r (2r) = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2$.

для сферы, диаметр которой $d_{сферы}$ равен высоте конуса $h$, радиус сферы $r_{сферы}$ равен $h/2$.

площадь поверхности сферы $s_{сферы}$ вычисляется по формуле: $s_{сферы} = 4\pi r_{сферы}^2$.

подставим $r_{сферы} = h/2$: $s_{сферы} = 4\pi (h/2)^2 = 4\pi (h^2/4) = \pi h^2$.

используя ранее полученное соотношение $h^2 = 3r^2$, подставим его в формулу для площади сферы:

$s_{сферы} = \pi (3r^2) = 3\pi r^2$.

таким образом, мы показали, что $s_{конуса} = 3\pi r^2$ и $s_{сферы} = 3\pi r^2$.

следовательно, $s_{конуса} = s_{сферы}$.

ответ: доказано.

б) сумма площадей сфер, диаметры которых равны катетам прямоугольного треугольника, равна площади сферы с диаметром, равным его гипотенузе.

дано

прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. две сферы с диаметрами $d_1 = a$ и $d_2 = b$ соответственно. третья сфера с диаметром $d_3 = c$.

найти: доказать, что сумма площадей первых двух сфер $s_1 + s_2$ равна площади третьей сферы $s_3$.

решение

для прямоугольного треугольника действует теорема пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

площадь поверхности сферы с диаметром $d$ и радиусом $r = d/2$ вычисляется по формуле $s = 4\pi r^2 = 4\pi (d/2)^2 = 4\pi (d^2/4) = \pi d^2$.

площадь первой сферы $s_1$ с диаметром $d_1 = a$: $s_1 = \pi a^2$.

площадь второй сферы $s_2$ с диаметром $d_2 = b$: $s_2 = \pi b^2$.

сумма площадей этих двух сфер: $s_1 + s_2 = \pi a^2 + \pi b^2 = \pi (a^2 + b^2)$.

площадь третьей сферы $s_3$ с диаметром $d_3 = c$: $s_3 = \pi c^2$.

согласно теореме пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$.

подставим это соотношение в выражение для суммы площадей: $s_1 + s_2 = \pi (c^2)$.

таким образом, мы показали, что $s_1 + s_2 = \pi c^2$ и $s_3 = \pi c^2$.

следовательно, $s_1 + s_2 = s_3$.

ответ: доказано.

420. Шар радиуса $r$ вписан в цилиндр, около которого описан шар. Найдите радиус описанного шара.

Дано:

Радиус шара, вписанного в цилиндр: $r_{вп} = r$

Шар радиуса $r_{вп}$ вписан в цилиндр.

Около этого цилиндра описан шар.

Перевод в СИ не требуется, так как задача оперирует символьными величинами.

Найти:

Радиус описанного шара: $R_{оп}$

Решение

1. Если шар радиуса $r$ вписан в цилиндр, это означает, что шар касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, а также его боковой поверхности. Из этого условия следует, что:

• Высота цилиндра $H_{цил}$ равна диаметру вписанного шара: $H_{цил} = 2r$.
• Радиус основания цилиндра $R_{цил}$ равен радиусу вписанного шара: $R_{цил} = r$.

2. Если вокруг цилиндра описан шар, это означает, что цилиндр вписан в этот шар. Вершины (точки на окружностях оснований) цилиндра лежат на поверхности описанного шара. Центр описанного шара совпадает с центром цилиндра.

Радиус описанного шара $R_{оп}$ можно найти, рассмотрев прямоугольное сечение цилиндра, проходящее через его ось. В таком сечении цилиндр представляет собой прямоугольник со сторонами $2R_{цил}$ (диаметр основания) и $H_{цил}$ (высота), а описанный шар - окружность, проходящая через все четыре вершины этого прямоугольника.

Радиус описанного шара $R_{оп}$ является половиной диагонали этого прямоугольника. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон прямоугольника. Таким образом, для радиуса описанного шара $R_{оп}$ мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания цилиндра ($R_{цил}$), половиной высоты цилиндра ($H_{цил}/2$) и радиусом описанного шара ($R_{оп}$), который является гипотенузой этого треугольника.

Применяем теорему Пифагора:

$R_{оп}^2 = (R_{цил})^2 + \left(\frac{H_{цил}}{2}\right)^2$

Подставим известные значения $R_{цил} = r$ и $H_{цил} = 2r$:

$R_{оп}^2 = (r)^2 + \left(\frac{2r}{2}\right)^2$

$R_{оп}^2 = r^2 + (r)^2$

$R_{оп}^2 = r^2 + r^2$

$R_{оп}^2 = 2r^2$

$R_{оп} = \sqrt{2r^2}$

$R_{оп} = r\sqrt{2}$

Ответ:

Радиус описанного шара равен $r\sqrt{2}$.

421. Около цилиндра, высота которого равна 8 см, описан шар. Найдите площадь большого круга этого шара, если разность радиусов шара и основания цилиндра равна 2 см.

Дано:

Высота цилиндра: $h = 8 \text{ см}$

Разность радиуса шара и радиуса основания цилиндра: $R - r = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Высота цилиндра: $h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Разность радиуса шара и радиуса основания цилиндра: $R - r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь большого круга шара: $S_{большого круга}$

Решение:

Когда шар описан около цилиндра, это означает, что цилиндр вписан в шар. Центр шара совпадает с центром цилиндра. Вершины цилиндра (точки на окружностях оснований) лежат на поверхности шара.

Рассмотрим осевое сечение этой фигуры, проходящее через центр шара и ось цилиндра. В этом сечении мы увидим прямоугольник, представляющий осевое сечение цилиндра, вписанный в окружность, представляющую большой круг шара.

Половина высоты цилиндра ($h/2$), радиус основания цилиндра ($r$), и радиус шара ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара является гипотенузой. Применяя теорему Пифагора, получаем соотношение:

$r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2$

Из условия задачи нам даны следующие значения:

$h = 8 \text{ см}$

$R - r = 2 \text{ см}$

Выразим радиус основания цилиндра $r$ через радиус шара $R$:

$r = R - 2 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в уравнение Пифагора:

$(R - 2)^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2 = R^2$

$(R - 2)^2 + 4^2 = R^2$

Раскроем скобки и возведем в квадрат:

$R^2 - 4R + 4 + 16 = R^2$

$R^2 - 4R + 20 = R^2$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения:

$-4R + 20 = 0$

$4R = 20$

$R = \frac{20}{4}$

$R = 5 \text{ см}$

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Подставим найденное значение радиуса шара $R$:

$S_{большого круга} = \pi (5 \text{ см})^2$

$S_{большого круга} = 25\pi \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь большого круга шара составляет $25\pi \text{ см}^2$.

422. Дан усеченный конус, в который можно вписать шар. Высота этого конуса равна 6 см, а диаметр одного из оснований – 9 см. Найдите диаметр второго основания.

Дано:
Высота усеченного конуса $H = 6$ см
Диаметр одного из оснований $D_1 = 9$ см

Перевод в СИ:
$H = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$D_1 = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:
Диаметр второго основания $D_2$.

Решение:
Если в усеченный конус можно вписать шар, то высота конуса $H$ равна диаметру этого шара. Также известно, что образующая $L$ усеченного конуса равна сумме радиусов его оснований $r_1$ и $r_2$.
Радиус первого основания $r_1$ вычисляется как половина его диаметра:
$r_1 = D_1 / 2 = 9 \text{ см} / 2 = 4.5 \text{ см}$.
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность (сечение шара). В такой трапеции сумма противоположных сторон равна. Таким образом, сумма оснований трапеции (которые являются диаметрами оснований конуса) равна сумме ее боковых сторон (которые являются образующими конуса).
Поэтому $2r_1 + 2r_2 = L + L$, что упрощается до $r_1 + r_2 = L$.
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, разностью радиусов оснований $|r_1 - r_2|$ и образующей $L$, по теореме Пифагора имеем:
$L^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
Подставим выражение для $L$ из условия вписанного шара ($L = r_1 + r_2$):
$(r_1 + r_2)^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
Раскроем скобки с обеих сторон уравнения:
$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = H^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$
Вычтем $r_1^2$ и $r_2^2$ из обеих частей уравнения:
$2r_1r_2 = H^2 - 2r_1r_2$
Перенесем $-2r_1r_2$ в левую часть:
$4r_1r_2 = H^2$
Это ключевая формула для усеченного конуса с вписанным шаром. Теперь подставим известные значения:
$4 \times (4.5 \text{ см}) \times r_2 = (6 \text{ см})^2$
$18 \text{ см} \times r_2 = 36 \text{ см}^2$
$r_2 = 36 \text{ см}^2 / 18 \text{ см}$
$r_2 = 2 \text{ см}$
Диаметр второго основания $D_2$ равен удвоенному радиусу $r_2$:
$D_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: 4 см

423. a) Шар радиуса $r$ вписан в конус, образующая которого наклонена к плоскости основания конуса под углом $\varphi$. Найдите площадь основания конуса.

б) В конус вписан шар и через точки его касания с образующими проведено сечение шара плоскостью. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, если радиус его основания $R$, а образующая составляет с основанием угол $45^\circ$.

а) Шар радиуса $r$ вписан в конус, образующая которого наклонена к плоскости основания конуса под углом $\varphi$. Найдите площадь основания конуса.

Дано:
Радиус вписанного шара: $r$
Угол наклона образующей конуса к плоскости основания: $\varphi$

Найти:
Площадь основания конуса: $S_{осн}$

Решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса с вписанным шаром. В сечении мы видим равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Пусть $V$ – вершина конуса, $B$ – центр основания, $A$ – точка на окружности основания. Тогда $VB$ – высота конуса $H$, $BA$ – радиус основания конуса $R_{кон}$, $VA$ – образующая конуса $L$. Угол $\angle VAB = \varphi$.

Центр вписанного шара $O_{ш}$ лежит на оси конуса $VB$. Поскольку шар вписан, он касается основания конуса, следовательно, расстояние от $O_{ш}$ до основания равно радиусу шара $r$, то есть $O_{ш}B = r$.
Значит, расстояние от вершины конуса до центра шара равно $VO_{ш} = H - r$.

Шар также касается образующей $VA$ в некоторой точке $K$. Радиус $O_{ш}K$ перпендикулярен образующей $VA$, то есть $\angle VKO_{ш} = 90^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VBA$. Угол $\angle VAB = \varphi$. Тогда угол при вершине конуса в осевом сечении (полувертикальный угол конуса), $\alpha = \angle AVB = 90^\circ - \varphi$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VKO_{ш}$. Угол $\angle VKO_{ш} = 90^\circ$. Угол $\angle KVO_{ш}$ – это тот же полувертикальный угол конуса $\alpha$.
В $\triangle VKO_{ш}$ справедливо соотношение:
$\sin(\angle KVO_{ш}) = \frac{O_{ш}K}{VO_{ш}}$
$\sin \alpha = \frac{r}{H - r}$
Так как $\alpha = 90^\circ - \varphi$, то $\sin \alpha = \sin(90^\circ - \varphi) = \cos \varphi$.
Следовательно:
$\cos \varphi = \frac{r}{H - r}$
$H - r = \frac{r}{\cos \varphi}$
$H = r + \frac{r}{\cos \varphi} = r \left(1 + \frac{1}{\cos \varphi}\right) = r \frac{\cos \varphi + 1}{\cos \varphi}$.

Теперь найдем радиус основания конуса $R_{кон}$. В прямоугольном треугольнике $\triangle VBA$:
$R_{кон} = H \cot \varphi$
Подставим выражение для $H$:
$R_{кон} = r \frac{\cos \varphi + 1}{\cos \varphi} \cot \varphi = r \frac{\cos \varphi + 1}{\cos \varphi} \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} = r \frac{1 + \cos \varphi}{\sin \varphi}$.

Используем тригонометрические формулы половинного угла: $1 + \cos \varphi = 2 \cos^2 (\varphi/2)$ и $\sin \varphi = 2 \sin (\varphi/2) \cos (\varphi/2)$.
$R_{кон} = r \frac{2 \cos^2 (\varphi/2)}{2 \sin (\varphi/2) \cos (\varphi/2)} = r \frac{\cos (\varphi/2)}{\sin (\varphi/2)} = r \cot (\varphi/2)$.

Площадь основания конуса $S_{осн}$ вычисляется по формуле площади круга:
$S_{осн} = \pi R_{кон}^2$
$S_{осн} = \pi (r \cot (\varphi/2))^2 = \pi r^2 \cot^2 (\varphi/2)$.

Ответ:
$S_{осн} = \pi r^2 \cot^2 (\varphi/2)$

б) В конус вписан шар и через точки его касания с образующими проведено сечение шара плоскостью. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, если радиус его основания $R$, а образующая составляет с основанием угол $45^\circ$.

Дано:
Радиус основания конуса: $R_{кон} = R$
Угол наклона образующей конуса к плоскости основания: $\varphi = 45^\circ$
Сечение шара проходит через точки касания шара с образующими конуса.

Найти:
Расстояние от вершины конуса до плоскости сечения: $d$

Решение:
Пусть $H$ – высота конуса. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей конуса:
$\tan \varphi = \frac{H}{R_{кон}}$
Так как $\varphi = 45^\circ$, то $\tan 45^\circ = 1$.
Следовательно, $H = R_{кон}$. Учитывая, что $R_{кон} = R$, получаем $H = R$.

Из решения части (а) мы знаем связь между радиусом вписанного шара $r$, радиусом основания конуса $R_{кон}$ и углом $\varphi$:
$R_{кон} = r \cot (\varphi/2)$
Подставим известные значения: $R_{кон} = R$ и $\varphi = 45^\circ$.
$R = r \cot (45^\circ/2) = r \cot (22.5^\circ)$.
Значение $\cot(22.5^\circ)$ можно найти как $\cot(45^\circ/2) = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 + \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{(2+\sqrt{2})/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.
Таким образом, $R = r(\sqrt{2}+1)$.
Выразим радиус шара $r$ через $R$:
$r = \frac{R}{\sqrt{2}+1} = \frac{R(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{R(\sqrt{2}-1)}{2-1} = R(\sqrt{2}-1)$.

Плоскость сечения шара, проходящая через точки касания шара с образующими, перпендикулярна оси конуса (из соображений симметрии). Пусть $V$ – вершина конуса, $O_{ш}$ – центр шара, $K$ – точка касания шара с образующей. Точка $K$ лежит в плоскости сечения. Расстояние, которое нужно найти, – это перпендикуляр от вершины $V$ до плоскости сечения. Назовем эту точку $M$. $VM$ является частью высоты конуса. $M$ – это проекция точки $K$ на ось конуса $VB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VKO_{ш}$. Угол $\angle VKO_{ш} = 90^\circ$. $O_{ш}K = r$.
Полувертикальный угол конуса $\alpha$ равен $90^\circ - \varphi = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Этот угол также равен $\angle KVO_{ш}$.
В $\triangle VKO_{ш}$:
$\cos \alpha = \frac{VK}{VO_{ш}}$ и $\sin \alpha = \frac{O_{ш}K}{VO_{ш}}$.
Мы знаем $O_{ш}K = r$.
$VO_{ш} = \frac{O_{ш}K}{\sin \alpha} = \frac{r}{\sin 45^\circ} = \frac{r}{1/\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.
Также мы знаем, что $VO_{ш} = H-r$.
Следовательно, $H-r = r\sqrt{2}$, что дает $H = r(1+\sqrt{2})$. Это согласуется с ранее полученным $H=R$ и $r=R(\sqrt{2}-1)$, так как $R(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = R((\sqrt{2})^2 - 1^2) = R(2-1)=R$.

Расстояние $d$ от вершины конуса до плоскости сечения – это длина отрезка $VM$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle VMK$ (где $M$ – проекция $K$ на $VB$), $VM$ – это катет, прилежащий к углу $\angle KVM = \alpha = 45^\circ$. Гипотенуза этого треугольника – $VK$.
Сначала найдем $VK$ из $\triangle VKO_{ш}$:
$VK = VO_{ш} \cos \alpha = (r\sqrt{2}) \cos 45^\circ = (r\sqrt{2}) (1/\sqrt{2}) = r$.

Теперь найдем $d = VM$:
$d = VK \cos \alpha = r \cos 45^\circ = r (1/\sqrt{2}) = \frac{r\sqrt{2}}{2}$.

Подставим выражение для $r$ через $R$:
$d = \frac{R(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{R(2-\sqrt{2})}{2} = R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ:
$d = R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

424. В усеченный конус, радиусы оснований которого 9 дм и 6 дм, вписан шар. Найдите угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости его нижнего основания.

Дано:

Радиус нижнего основания усеченного конуса $R_1 = 9$ дм

Радиус верхнего основания усеченного конуса $R_2 = 6$ дм

В усеченный конус вписан шар.

Перевод в СИ:

$R_1 = 9$ дм $= 0.9$ м

$R_2 = 6$ дм $= 0.6$ м

Найти:

Угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости его нижнего основания $\alpha$.

Решение:

Когда в усеченный конус вписан шар, длина образующей (наклонной) $L$ равна сумме радиусов его оснований.
$L = R_1 + R_2$
Подставляем данные значения:
$L = 9 \text{ дм} + 6 \text{ дм} = 15 \text{ дм}$
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписан круг (сечение шара).
Высота усеченного конуса $H$ является также высотой этой трапеции.
Проекция образующей на плоскость основания равна разности радиусов оснований: $R_1 - R_2$.
В прямоугольном треугольнике, образованном образующей $L$, высотой $H$ и проекцией образующей на плоскость основания $(R_1 - R_2)$, угол наклона $\alpha$ образующей к плоскости нижнего основания можно найти через косинус.
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
$\cos(\alpha) = \frac{R_1 - R_2}{L}$
Подставляем известные значения:
$R_1 - R_2 = 9 \text{ дм} - 6 \text{ дм} = 3 \text{ дм}$
$\cos(\alpha) = \frac{3 \text{ дм}}{15 \text{ дм}} = \frac{1}{5}$
Чтобы найти угол $\alpha$, возьмем арккосинус от полученного значения:
$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{5}\right)$

Ответ:

Угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости его нижнего основания равен $\arccos\left(\frac{1}{5}\right)$.

425. Найдите площадь сферы, описанной около равностороннего цилиндра, площадь поверхности которого равна $3 \text{ дм}^2$.

Дано:

$S_{цил} = 3 \text{ дм}^2$

Перевод в СИ:

$S_{цил} = 3 \text{ дм}^2 = 3 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 = 0.03 \text{ м}^2$

Найти:

$S_{сф}$

Решение:

Равносторонний цилиндр — это цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Пусть радиус основания цилиндра будет $r$, а высота $h$. Тогда по определению равностороннего цилиндра $h = 2r$.

Площадь поверхности цилиндра $S_{цил}$ вычисляется по формуле: $S_{цил} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$.

Подставим $h = 2r$ в формулу площади поверхности цилиндра:

$S_{цил} = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$.

Нам дана площадь поверхности цилиндра: $S_{цил} = 3 \text{ дм}^2$.

Приравняем и найдем $r^2$:

$3 = 6\pi r^2$

$r^2 = \frac{3}{6\pi} = \frac{1}{2\pi}$.

Сфера описана около равностороннего цилиндра. Это означает, что диаметр сферы $D_{сф}$ равен диагонали осевого сечения цилиндра.

Осевое сечение равностороннего цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания цилиндра ($2r$) и высоте цилиндра ($h$). Поскольку цилиндр равносторонний, $h = 2r$, и осевое сечение является квадратом со стороной $2r$.

Диагональ этого квадрата $d$ можно найти по теореме Пифагора:

$d^2 = (2r)^2 + h^2$.

Подставим $h = 2r$:

$d^2 = (2r)^2 + (2r)^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2$.

$d = \sqrt{8r^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot r^2} = 2r\sqrt{2}$.

Радиус сферы $R_{сф}$ равен половине диаметра сферы:

$R_{сф} = \frac{d}{2} = \frac{2r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$.

Площадь поверхности сферы $S_{сф}$ вычисляется по формуле: $S_{сф} = 4\pi R_{сф}^2$.

Подставим выражение для $R_{сф}$:

$S_{сф} = 4\pi (r\sqrt{2})^2 = 4\pi (r^2 \cdot 2) = 8\pi r^2$.

Теперь подставим ранее найденное значение $r^2 = \frac{1}{2\pi}$:

$S_{сф} = 8\pi \left(\frac{1}{2\pi}\right) = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$.

Ответ:

$S_{сф} = 4 \text{ дм}^2$