Страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.

Тип: Учебник

Издательство: Кокшетау

Год издания: 2020 - 2025

Цвет обложки:

ISBN: 978-601-317-528-7

Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан

Популярные ГДЗ в 11 классе

Cтраница 131

№418 (с. 131)
Условие. №418 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 418, Условие

418. a) Сфера касается сторон треугольника ABC, плоскости которого принадлежит ее центр. Найдите площадь сферы, если $AB = BC = 15$ см, $AC = 24$ см.

б) Каждая сторона ромба, равная $6\sqrt{2}$ см, касается шара, а плоскость ромба удалена от центра шара на расстояние, равное 4 см. Найдите площадь поверхности шара, если площадь ромба равна $36\sqrt{2}$ см$^2$.

Решение. №418 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 418, Решение ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 418, Решение (продолжение 2)
Решение 2 (rus). №418 (с. 131)

а) Сфера касается сторон треугольника ABC, плоскости которого принадлежит ее центр. Найдите площадь сферы, если AB = BC = 15 см, AC = 24 см.

Дано:

  • Треугольник $ABC$

  • $AB = BC = 15$ см

  • $AC = 24$ см

  • Сфера касается сторон треугольника

  • Центр сферы находится в плоскости треугольника

Перевод в СИ:

  • $AB = BC = 0.15$ м

  • $AC = 0.24$ м

Найти:

  • Площадь сферы ($S_{сферы}$)

Решение:

Так как сфера касается сторон треугольника $ABC$ и ее центр находится в плоскости этого треугольника, то радиус сферы равен радиусу вписанной окружности треугольника $ABC$.

1. Найдем полупериметр треугольника $ABC$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см

2. Треугольник $ABC$ - равнобедренный ($AB = BC$). Найдем высоту $BH$ к основанию $AC$. Высота $BH$ также является медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

3. Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABH$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$BH = \sqrt{81} = 9$ см

4. Найдем площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ см$^2$

5. Радиус вписанной окружности $r$ (и, следовательно, радиус сферы $R$) можно найти по формуле $S = p \cdot r$:

$R = r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{108}{27} = 4$ см

6. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$:

$S_{сферы} = 4\pi (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi$ см$^2$

Ответ: $64\pi$ см$^2$

б) Каждая сторона ромба, равная $6\sqrt{2}$ см, касается шара, а плоскость ромба удалена от центра шара на расстояние, равное 4 см. Найдите площадь поверхности шара, если площадь ромба равна $36\sqrt{2}$ см$^2$.

Дано:

  • Сторона ромба $a = 6\sqrt{2}$ см

  • Площадь ромба $S_{ромба} = 36\sqrt{2}$ см$^2$

  • Расстояние от плоскости ромба до центра шара $d = 4$ см

  • Каждая сторона ромба касается шара

Перевод в СИ:

  • $a = 6\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м

  • $S_{ромба} = 36\sqrt{2} \cdot 10^{-4}$ м$^2$

  • $d = 4 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

  • Площадь поверхности шара ($S_{шара}$)

Решение:

1. Если каждая сторона ромба касается шара, то это означает, что в ромб можно вписать окружность, и радиус этой окружности ($r_{вписанной}$) связан с радиусом шара ($R$) и расстоянием от центра шара до плоскости ромба ($d$) соотношением:

$R^2 = d^2 + r_{вписанной}^2$

2. Площадь ромба также может быть выражена через его сторону $a$ и высоту $h$: $S_{ромба} = a \cdot h$.

3. В ромб всегда можно вписать окружность, и ее радиус равен половине высоты ромба: $r_{вписанной} = \frac{h}{2}$.

4. Найдем высоту ромба $h$ из формулы площади:

$h = \frac{S_{ромба}}{a} = \frac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 6$ см

5. Найдем радиус вписанной окружности ромба:

$r_{вписанной} = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см

6. Теперь найдем радиус шара $R$ по теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r_{вписанной}^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$R = \sqrt{25} = 5$ см

7. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$:

$S_{шара} = 4\pi (5)^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi$ см$^2$

Ответ: $100\pi$ см$^2$

№419 (с. 131)
Условие. №419 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 419, Условие

419. Докажите, что:

а) площадь полной поверхности равностороннего конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса;

б) сумма площадей сфер, диаметры которых равны катетам прямоугольного треугольника, равна площади сферы с диаметром, равным его гипотенузе.

Решение. №419 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 419, Решение
Решение 2 (rus). №419 (с. 131)

a) площадь полной поверхности равностороннего конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса;

дано

равносторонний конус с радиусом основания $r$, высотой $h$ и образующей $l$. сфера с диаметром $d_{сферы}$, равным высоте конуса.

найти: доказать, что площадь полной поверхности равностороннего конуса $s_{конуса}$ равна площади сферы $s_{сферы}$.

решение

для равностороннего конуса образующая $l$ равна диаметру основания, то есть $l = 2r$.

высота конуса $h$, радиус $r$ и образующая $l$ связаны соотношением по теореме пифагора: $h^2 + r^2 = l^2$.

подставим $l = 2r$ в это соотношение: $h^2 + r^2 = (2r)^2 = 4r^2$.

отсюда получаем связь между высотой и радиусом: $h^2 = 3r^2$.

площадь полной поверхности конуса $s_{конуса}$ определяется как сумма площади основания и площади боковой поверхности: $s_{конуса} = \pi r^2 + \pi r l$.

подставим $l = 2r$: $s_{конуса} = \pi r^2 + \pi r (2r) = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2$.

для сферы, диаметр которой $d_{сферы}$ равен высоте конуса $h$, радиус сферы $r_{сферы}$ равен $h/2$.

площадь поверхности сферы $s_{сферы}$ вычисляется по формуле: $s_{сферы} = 4\pi r_{сферы}^2$.

подставим $r_{сферы} = h/2$: $s_{сферы} = 4\pi (h/2)^2 = 4\pi (h^2/4) = \pi h^2$.

используя ранее полученное соотношение $h^2 = 3r^2$, подставим его в формулу для площади сферы:

$s_{сферы} = \pi (3r^2) = 3\pi r^2$.

таким образом, мы показали, что $s_{конуса} = 3\pi r^2$ и $s_{сферы} = 3\pi r^2$.

следовательно, $s_{конуса} = s_{сферы}$.

ответ: доказано.

б) сумма площадей сфер, диаметры которых равны катетам прямоугольного треугольника, равна площади сферы с диаметром, равным его гипотенузе.

дано

прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. две сферы с диаметрами $d_1 = a$ и $d_2 = b$ соответственно. третья сфера с диаметром $d_3 = c$.

найти: доказать, что сумма площадей первых двух сфер $s_1 + s_2$ равна площади третьей сферы $s_3$.

решение

для прямоугольного треугольника действует теорема пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

площадь поверхности сферы с диаметром $d$ и радиусом $r = d/2$ вычисляется по формуле $s = 4\pi r^2 = 4\pi (d/2)^2 = 4\pi (d^2/4) = \pi d^2$.

площадь первой сферы $s_1$ с диаметром $d_1 = a$: $s_1 = \pi a^2$.

площадь второй сферы $s_2$ с диаметром $d_2 = b$: $s_2 = \pi b^2$.

сумма площадей этих двух сфер: $s_1 + s_2 = \pi a^2 + \pi b^2 = \pi (a^2 + b^2)$.

площадь третьей сферы $s_3$ с диаметром $d_3 = c$: $s_3 = \pi c^2$.

согласно теореме пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$.

подставим это соотношение в выражение для суммы площадей: $s_1 + s_2 = \pi (c^2)$.

таким образом, мы показали, что $s_1 + s_2 = \pi c^2$ и $s_3 = \pi c^2$.

следовательно, $s_1 + s_2 = s_3$.

ответ: доказано.

№420 (с. 131)
Условие. №420 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 420, Условие

420. Шар радиуса $r$ вписан в цилиндр, около которого описан шар. Найдите радиус описанного шара.

Решение. №420 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 420, Решение
Решение 2 (rus). №420 (с. 131)

Дано:

Радиус шара, вписанного в цилиндр: $r_{вп} = r$

Шар радиуса $r_{вп}$ вписан в цилиндр.

Около этого цилиндра описан шар.

Перевод в СИ не требуется, так как задача оперирует символьными величинами.

Найти:

Радиус описанного шара: $R_{оп}$

Решение

1. Если шар радиуса $r$ вписан в цилиндр, это означает, что шар касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, а также его боковой поверхности. Из этого условия следует, что:

  • Высота цилиндра $H_{цил}$ равна диаметру вписанного шара: $H_{цил} = 2r$.
  • Радиус основания цилиндра $R_{цил}$ равен радиусу вписанного шара: $R_{цил} = r$.

2. Если вокруг цилиндра описан шар, это означает, что цилиндр вписан в этот шар. Вершины (точки на окружностях оснований) цилиндра лежат на поверхности описанного шара. Центр описанного шара совпадает с центром цилиндра.

Радиус описанного шара $R_{оп}$ можно найти, рассмотрев прямоугольное сечение цилиндра, проходящее через его ось. В таком сечении цилиндр представляет собой прямоугольник со сторонами $2R_{цил}$ (диаметр основания) и $H_{цил}$ (высота), а описанный шар - окружность, проходящая через все четыре вершины этого прямоугольника.

Радиус описанного шара $R_{оп}$ является половиной диагонали этого прямоугольника. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон прямоугольника. Таким образом, для радиуса описанного шара $R_{оп}$ мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания цилиндра ($R_{цил}$), половиной высоты цилиндра ($H_{цил}/2$) и радиусом описанного шара ($R_{оп}$), который является гипотенузой этого треугольника.

Применяем теорему Пифагора:

$R_{оп}^2 = (R_{цил})^2 + \left(\frac{H_{цил}}{2}\right)^2$

Подставим известные значения $R_{цил} = r$ и $H_{цил} = 2r$:

$R_{оп}^2 = (r)^2 + \left(\frac{2r}{2}\right)^2$

$R_{оп}^2 = r^2 + (r)^2$

$R_{оп}^2 = r^2 + r^2$

$R_{оп}^2 = 2r^2$

$R_{оп} = \sqrt{2r^2}$

$R_{оп} = r\sqrt{2}$

Ответ:

Радиус описанного шара равен $r\sqrt{2}$.

№421 (с. 131)
Условие. №421 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 421, Условие

421. Около цилиндра, высота которого равна 8 см, описан шар. Найдите площадь большого круга этого шара, если разность радиусов шара и основания цилиндра равна 2 см.

Решение. №421 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 421, Решение
Решение 2 (rus). №421 (с. 131)

Дано:

Высота цилиндра: $h = 8 \text{ см}$

Разность радиуса шара и радиуса основания цилиндра: $R - r = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Высота цилиндра: $h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Разность радиуса шара и радиуса основания цилиндра: $R - r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь большого круга шара: $S_{большого круга}$

Решение:

Когда шар описан около цилиндра, это означает, что цилиндр вписан в шар. Центр шара совпадает с центром цилиндра. Вершины цилиндра (точки на окружностях оснований) лежат на поверхности шара.

Рассмотрим осевое сечение этой фигуры, проходящее через центр шара и ось цилиндра. В этом сечении мы увидим прямоугольник, представляющий осевое сечение цилиндра, вписанный в окружность, представляющую большой круг шара.

Половина высоты цилиндра ($h/2$), радиус основания цилиндра ($r$), и радиус шара ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара является гипотенузой. Применяя теорему Пифагора, получаем соотношение:

$r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2$

Из условия задачи нам даны следующие значения:

$h = 8 \text{ см}$

$R - r = 2 \text{ см}$

Выразим радиус основания цилиндра $r$ через радиус шара $R$:

$r = R - 2 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в уравнение Пифагора:

$(R - 2)^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2 = R^2$

$(R - 2)^2 + 4^2 = R^2$

Раскроем скобки и возведем в квадрат:

$R^2 - 4R + 4 + 16 = R^2$

$R^2 - 4R + 20 = R^2$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения:

$-4R + 20 = 0$

$4R = 20$

$R = \frac{20}{4}$

$R = 5 \text{ см}$

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Подставим найденное значение радиуса шара $R$:

$S_{большого круга} = \pi (5 \text{ см})^2$

$S_{большого круга} = 25\pi \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь большого круга шара составляет $25\pi \text{ см}^2$.

№422 (с. 131)
Условие. №422 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 422, Условие

422. Дан усеченный конус, в который можно вписать шар. Высота этого конуса равна 6 см, а диаметр одного из оснований – 9 см. Найдите диаметр второго основания.

Решение. №422 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 422, Решение
Решение 2 (rus). №422 (с. 131)

Дано:
Высота усеченного конуса $H = 6$ см
Диаметр одного из оснований $D_1 = 9$ см

Перевод в СИ:
$H = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$D_1 = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:
Диаметр второго основания $D_2$.

Решение:
Если в усеченный конус можно вписать шар, то высота конуса $H$ равна диаметру этого шара. Также известно, что образующая $L$ усеченного конуса равна сумме радиусов его оснований $r_1$ и $r_2$.
Радиус первого основания $r_1$ вычисляется как половина его диаметра:
$r_1 = D_1 / 2 = 9 \text{ см} / 2 = 4.5 \text{ см}$.
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность (сечение шара). В такой трапеции сумма противоположных сторон равна. Таким образом, сумма оснований трапеции (которые являются диаметрами оснований конуса) равна сумме ее боковых сторон (которые являются образующими конуса).
Поэтому $2r_1 + 2r_2 = L + L$, что упрощается до $r_1 + r_2 = L$.
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, разностью радиусов оснований $|r_1 - r_2|$ и образующей $L$, по теореме Пифагора имеем:
$L^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
Подставим выражение для $L$ из условия вписанного шара ($L = r_1 + r_2$):
$(r_1 + r_2)^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
Раскроем скобки с обеих сторон уравнения:
$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = H^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$
Вычтем $r_1^2$ и $r_2^2$ из обеих частей уравнения:
$2r_1r_2 = H^2 - 2r_1r_2$
Перенесем $-2r_1r_2$ в левую часть:
$4r_1r_2 = H^2$
Это ключевая формула для усеченного конуса с вписанным шаром. Теперь подставим известные значения:
$4 \times (4.5 \text{ см}) \times r_2 = (6 \text{ см})^2$
$18 \text{ см} \times r_2 = 36 \text{ см}^2$
$r_2 = 36 \text{ см}^2 / 18 \text{ см}$
$r_2 = 2 \text{ см}$
Диаметр второго основания $D_2$ равен удвоенному радиусу $r_2$:
$D_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: 4 см

№423 (с. 131)
Условие. №423 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 423, Условие

423. a) Шар радиуса $r$ вписан в конус, образующая которого наклонена к плоскости основания конуса под углом $\varphi$. Найдите площадь основания конуса.

б) В конус вписан шар и через точки его касания с образующими проведено сечение шара плоскостью. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, если радиус его основания $R$, а образующая составляет с основанием угол $45^\circ$.

Решение. №423 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 423, Решение
Решение 2 (rus). №423 (с. 131)

а) Шар радиуса $r$ вписан в конус, образующая которого наклонена к плоскости основания конуса под углом $\varphi$. Найдите площадь основания конуса.

Дано:
Радиус вписанного шара: $r$
Угол наклона образующей конуса к плоскости основания: $\varphi$

Найти:
Площадь основания конуса: $S_{осн}$

Решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса с вписанным шаром. В сечении мы видим равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Пусть $V$ – вершина конуса, $B$ – центр основания, $A$ – точка на окружности основания. Тогда $VB$ – высота конуса $H$, $BA$ – радиус основания конуса $R_{кон}$, $VA$ – образующая конуса $L$. Угол $\angle VAB = \varphi$.

Центр вписанного шара $O_{ш}$ лежит на оси конуса $VB$. Поскольку шар вписан, он касается основания конуса, следовательно, расстояние от $O_{ш}$ до основания равно радиусу шара $r$, то есть $O_{ш}B = r$.
Значит, расстояние от вершины конуса до центра шара равно $VO_{ш} = H - r$.

Шар также касается образующей $VA$ в некоторой точке $K$. Радиус $O_{ш}K$ перпендикулярен образующей $VA$, то есть $\angle VKO_{ш} = 90^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VBA$. Угол $\angle VAB = \varphi$. Тогда угол при вершине конуса в осевом сечении (полувертикальный угол конуса), $\alpha = \angle AVB = 90^\circ - \varphi$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VKO_{ш}$. Угол $\angle VKO_{ш} = 90^\circ$. Угол $\angle KVO_{ш}$ – это тот же полувертикальный угол конуса $\alpha$.
В $\triangle VKO_{ш}$ справедливо соотношение:
$\sin(\angle KVO_{ш}) = \frac{O_{ш}K}{VO_{ш}}$
$\sin \alpha = \frac{r}{H - r}$
Так как $\alpha = 90^\circ - \varphi$, то $\sin \alpha = \sin(90^\circ - \varphi) = \cos \varphi$.
Следовательно:
$\cos \varphi = \frac{r}{H - r}$
$H - r = \frac{r}{\cos \varphi}$
$H = r + \frac{r}{\cos \varphi} = r \left(1 + \frac{1}{\cos \varphi}\right) = r \frac{\cos \varphi + 1}{\cos \varphi}$.

Теперь найдем радиус основания конуса $R_{кон}$. В прямоугольном треугольнике $\triangle VBA$:
$R_{кон} = H \cot \varphi$
Подставим выражение для $H$:
$R_{кон} = r \frac{\cos \varphi + 1}{\cos \varphi} \cot \varphi = r \frac{\cos \varphi + 1}{\cos \varphi} \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} = r \frac{1 + \cos \varphi}{\sin \varphi}$.

Используем тригонометрические формулы половинного угла: $1 + \cos \varphi = 2 \cos^2 (\varphi/2)$ и $\sin \varphi = 2 \sin (\varphi/2) \cos (\varphi/2)$.
$R_{кон} = r \frac{2 \cos^2 (\varphi/2)}{2 \sin (\varphi/2) \cos (\varphi/2)} = r \frac{\cos (\varphi/2)}{\sin (\varphi/2)} = r \cot (\varphi/2)$.

Площадь основания конуса $S_{осн}$ вычисляется по формуле площади круга:
$S_{осн} = \pi R_{кон}^2$
$S_{осн} = \pi (r \cot (\varphi/2))^2 = \pi r^2 \cot^2 (\varphi/2)$.

Ответ:
$S_{осн} = \pi r^2 \cot^2 (\varphi/2)$

б) В конус вписан шар и через точки его касания с образующими проведено сечение шара плоскостью. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, если радиус его основания $R$, а образующая составляет с основанием угол $45^\circ$.

Дано:
Радиус основания конуса: $R_{кон} = R$
Угол наклона образующей конуса к плоскости основания: $\varphi = 45^\circ$
Сечение шара проходит через точки касания шара с образующими конуса.

Найти:
Расстояние от вершины конуса до плоскости сечения: $d$

Решение:
Пусть $H$ – высота конуса. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей конуса:
$\tan \varphi = \frac{H}{R_{кон}}$
Так как $\varphi = 45^\circ$, то $\tan 45^\circ = 1$.
Следовательно, $H = R_{кон}$. Учитывая, что $R_{кон} = R$, получаем $H = R$.

Из решения части (а) мы знаем связь между радиусом вписанного шара $r$, радиусом основания конуса $R_{кон}$ и углом $\varphi$:
$R_{кон} = r \cot (\varphi/2)$
Подставим известные значения: $R_{кон} = R$ и $\varphi = 45^\circ$.
$R = r \cot (45^\circ/2) = r \cot (22.5^\circ)$.
Значение $\cot(22.5^\circ)$ можно найти как $\cot(45^\circ/2) = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 + \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{(2+\sqrt{2})/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.
Таким образом, $R = r(\sqrt{2}+1)$.
Выразим радиус шара $r$ через $R$:
$r = \frac{R}{\sqrt{2}+1} = \frac{R(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{R(\sqrt{2}-1)}{2-1} = R(\sqrt{2}-1)$.

Плоскость сечения шара, проходящая через точки касания шара с образующими, перпендикулярна оси конуса (из соображений симметрии). Пусть $V$ – вершина конуса, $O_{ш}$ – центр шара, $K$ – точка касания шара с образующей. Точка $K$ лежит в плоскости сечения. Расстояние, которое нужно найти, – это перпендикуляр от вершины $V$ до плоскости сечения. Назовем эту точку $M$. $VM$ является частью высоты конуса. $M$ – это проекция точки $K$ на ось конуса $VB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VKO_{ш}$. Угол $\angle VKO_{ш} = 90^\circ$. $O_{ш}K = r$.
Полувертикальный угол конуса $\alpha$ равен $90^\circ - \varphi = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Этот угол также равен $\angle KVO_{ш}$.
В $\triangle VKO_{ш}$:
$\cos \alpha = \frac{VK}{VO_{ш}}$ и $\sin \alpha = \frac{O_{ш}K}{VO_{ш}}$.
Мы знаем $O_{ш}K = r$.
$VO_{ш} = \frac{O_{ш}K}{\sin \alpha} = \frac{r}{\sin 45^\circ} = \frac{r}{1/\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.
Также мы знаем, что $VO_{ш} = H-r$.
Следовательно, $H-r = r\sqrt{2}$, что дает $H = r(1+\sqrt{2})$. Это согласуется с ранее полученным $H=R$ и $r=R(\sqrt{2}-1)$, так как $R(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = R((\sqrt{2})^2 - 1^2) = R(2-1)=R$.

Расстояние $d$ от вершины конуса до плоскости сечения – это длина отрезка $VM$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle VMK$ (где $M$ – проекция $K$ на $VB$), $VM$ – это катет, прилежащий к углу $\angle KVM = \alpha = 45^\circ$. Гипотенуза этого треугольника – $VK$.
Сначала найдем $VK$ из $\triangle VKO_{ш}$:
$VK = VO_{ш} \cos \alpha = (r\sqrt{2}) \cos 45^\circ = (r\sqrt{2}) (1/\sqrt{2}) = r$.

Теперь найдем $d = VM$:
$d = VK \cos \alpha = r \cos 45^\circ = r (1/\sqrt{2}) = \frac{r\sqrt{2}}{2}$.

Подставим выражение для $r$ через $R$:
$d = \frac{R(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{R(2-\sqrt{2})}{2} = R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ:
$d = R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

№424 (с. 131)
Условие. №424 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 424, Условие

424. В усеченный конус, радиусы оснований которого 9 дм и 6 дм, вписан шар. Найдите угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости его нижнего основания.

Решение. №424 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 424, Решение
Решение 2 (rus). №424 (с. 131)

Дано:

Радиус нижнего основания усеченного конуса $R_1 = 9$ дм

Радиус верхнего основания усеченного конуса $R_2 = 6$ дм

В усеченный конус вписан шар.

Перевод в СИ:

$R_1 = 9$ дм $= 0.9$ м

$R_2 = 6$ дм $= 0.6$ м

Найти:

Угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости его нижнего основания $\alpha$.

Решение:

Когда в усеченный конус вписан шар, длина образующей (наклонной) $L$ равна сумме радиусов его оснований.
$L = R_1 + R_2$
Подставляем данные значения:
$L = 9 \text{ дм} + 6 \text{ дм} = 15 \text{ дм}$
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписан круг (сечение шара).
Высота усеченного конуса $H$ является также высотой этой трапеции.
Проекция образующей на плоскость основания равна разности радиусов оснований: $R_1 - R_2$.
В прямоугольном треугольнике, образованном образующей $L$, высотой $H$ и проекцией образующей на плоскость основания $(R_1 - R_2)$, угол наклона $\alpha$ образующей к плоскости нижнего основания можно найти через косинус.
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
$\cos(\alpha) = \frac{R_1 - R_2}{L}$
Подставляем известные значения:
$R_1 - R_2 = 9 \text{ дм} - 6 \text{ дм} = 3 \text{ дм}$
$\cos(\alpha) = \frac{3 \text{ дм}}{15 \text{ дм}} = \frac{1}{5}$
Чтобы найти угол $\alpha$, возьмем арккосинус от полученного значения:
$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{5}\right)$

Ответ:

Угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости его нижнего основания равен $\arccos\left(\frac{1}{5}\right)$.

№425 (с. 131)
Условие. №425 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 425, Условие

425. Найдите площадь сферы, описанной около равностороннего цилиндра, площадь поверхности которого равна $3 \text{ дм}^2$.

Решение. №425 (с. 131)
ГДЗ Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Солтан Г Н, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2020, страница 131, номер 425, Решение
Решение 2 (rus). №425 (с. 131)

Дано:

$S_{цил} = 3 \text{ дм}^2$

Перевод в СИ:

$S_{цил} = 3 \text{ дм}^2 = 3 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 = 0.03 \text{ м}^2$

Найти:

$S_{сф}$

Решение:

Равносторонний цилиндр — это цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Пусть радиус основания цилиндра будет $r$, а высота $h$. Тогда по определению равностороннего цилиндра $h = 2r$.

Площадь поверхности цилиндра $S_{цил}$ вычисляется по формуле: $S_{цил} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$.

Подставим $h = 2r$ в формулу площади поверхности цилиндра:

$S_{цил} = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$.

Нам дана площадь поверхности цилиндра: $S_{цил} = 3 \text{ дм}^2$.

Приравняем и найдем $r^2$:

$3 = 6\pi r^2$

$r^2 = \frac{3}{6\pi} = \frac{1}{2\pi}$.

Сфера описана около равностороннего цилиндра. Это означает, что диаметр сферы $D_{сф}$ равен диагонали осевого сечения цилиндра.

Осевое сечение равностороннего цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания цилиндра ($2r$) и высоте цилиндра ($h$). Поскольку цилиндр равносторонний, $h = 2r$, и осевое сечение является квадратом со стороной $2r$.

Диагональ этого квадрата $d$ можно найти по теореме Пифагора:

$d^2 = (2r)^2 + h^2$.

Подставим $h = 2r$:

$d^2 = (2r)^2 + (2r)^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2$.

$d = \sqrt{8r^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot r^2} = 2r\sqrt{2}$.

Радиус сферы $R_{сф}$ равен половине диаметра сферы:

$R_{сф} = \frac{d}{2} = \frac{2r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$.

Площадь поверхности сферы $S_{сф}$ вычисляется по формуле: $S_{сф} = 4\pi R_{сф}^2$.

Подставим выражение для $R_{сф}$:

$S_{сф} = 4\pi (r\sqrt{2})^2 = 4\pi (r^2 \cdot 2) = 8\pi r^2$.

Теперь подставим ранее найденное значение $r^2 = \frac{1}{2\pi}$:

$S_{сф} = 8\pi \left(\frac{1}{2\pi}\right) = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$.

Ответ:

$S_{сф} = 4 \text{ дм}^2$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться