Страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

403. a) Сфера касается плоскости треугольника со сторонами 6 см, 8 см, 10 см в центре описанной около него окружности. Найдите расстояние от центра сферы до вершин треугольника, если радиус сферы равен 12 см.

б) Сфера касается плоскости треугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см в центре вписанной в него окружности. Найдите расстояние от центра сферы до сторон треугольника, если радиус сферы равен 2,4 см.

а)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 10$ см.
Радиус сферы: $R_{сферы} = 12$ см.
Сфера касается плоскости треугольника в центре описанной около него окружности.

Перевод в СИ:

$a = 6 \cdot 10^{-2}$ м
$b = 8 \cdot 10^{-2}$ м
$c = 10 \cdot 10^{-2}$ м
$R_{сферы} = 12 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Расстояние от центра сферы до вершин треугольника, $L$.

Решение:

1. Определим тип треугольника. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для сторон $6$ см, $8$ см, $10$ см:
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$10^2 = 100$.
Так как $6^2 + 8^2 = 10^2$, треугольник является прямоугольным.

2. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а ее радиус $R_{окр}$ равен половине гипотенузы.
Гипотенуза $c = 10$ см.
$R_{окр} = \frac{c}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5$ см.

3. По условию, сфера касается плоскости треугольника в центре описанной окружности. Это означает, что отрезок, соединяющий центр сферы с центром описанной окружности (точкой касания), перпендикулярен плоскости треугольника и равен радиусу сферы.
Пусть $O$ - центр сферы, а $C$ - центр описанной окружности. Расстояние $OC$ является перпендикуляром к плоскости треугольника.$OC = R_{сферы} = 12$ см.

4. Рассмотрим любую вершину треугольника, например $A$. Расстояние от центра описанной окружности $C$ до вершины $A$ равно радиусу описанной окружности, т.е. $CA = R_{окр} = 5$ см.

5. Образуется прямоугольный треугольник $OCA$, где $OC$ - один катет, $CA$ - другой катет, а $OA$ - гипотенуза, которая является искомым расстоянием от центра сферы до вершины треугольника.
По теореме Пифагора:
$L^2 = OA^2 = OC^2 + CA^2$
$L^2 = (12 \text{ см})^2 + (5 \text{ см})^2$
$L^2 = 144 + 25$
$L^2 = 169$
$L = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

б)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см.
Радиус сферы: $R_{сферы} = 2,4$ см.
Сфера касается плоскости треугольника в центре вписанной в него окружности.

Перевод в СИ:

$a = 3 \cdot 10^{-2}$ м
$b = 4 \cdot 10^{-2}$ м
$c = 5 \cdot 10^{-2}$ м
$R_{сферы} = 2.4 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Расстояние от центра сферы до сторон треугольника, $L'$.

Решение:

1. Определим тип треугольника. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для сторон $3$ см, $4$ см, $5$ см:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$5^2 = 25$.
Так как $3^2 + 4^2 = 5^2$, треугольник является прямоугольным.

2. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности $r_{вп}$ может быть найден по формуле $r_{вп} = \frac{a+b-c}{2}$, где $c$ - гипотенуза.
$r_{вп} = \frac{3 \text{ см} + 4 \text{ см} - 5 \text{ см}}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1$ см.

3. По условию, сфера касается плоскости треугольника в центре вписанной окружности. Это означает, что отрезок, соединяющий центр сферы с центром вписанной окружности (точкой касания), перпендикулярен плоскости треугольника и равен радиусу сферы.
Пусть $O$ - центр сферы, а $I$ - центр вписанной окружности. Расстояние $OI$ является перпендикуляром к плоскости треугольника.$OI = R_{сферы} = 2.4$ см.

4. Рассмотрим любую сторону треугольника. Расстояние от центра вписанной окружности $I$ до любой стороны треугольника (измеренное по перпендикуляру к этой стороне) равно радиусу вписанной окружности. Пусть $M$ - точка касания вписанной окружности со стороной треугольника. Тогда $IM = r_{вп} = 1$ см.

5. Образуется прямоугольный треугольник $OIM$, где $OI$ - один катет, $IM$ - другой катет, а $OM$ - гипотенуза, которая является искомым расстоянием от центра сферы до стороны треугольника.
По теореме Пифагора:
$L'^2 = OM^2 = OI^2 + IM^2$
$L'^2 = (2.4 \text{ см})^2 + (1 \text{ см})^2$
$L'^2 = 5.76 + 1$
$L'^2 = 6.76$
$L' = \sqrt{6.76} = 2.6$ см.

Ответ: 2.6 см.

404. Сфера касается сторон треугольника $ABC$. Найдите радиус сферы, если ее центр лежит в плоскости этого треугольника, $AB = BC = 15 \text{ см}$, $AC = 24 \text{ см}$.

Дано:

Сфера касается сторон треугольника $ABC$.

Центр сферы лежит в плоскости треугольника $ABC$.

$AB = 15 \text{ см}$

$BC = 15 \text{ см}$

$AC = 24 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$AB = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$BC = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$AC = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы $R$.

Решение:

Поскольку центр сферы лежит в плоскости треугольника $ABC$ и сфера касается всех сторон этого треугольника, радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = 15 \text{ см}$.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см}$.

В системе СИ: $p = 0.27 \text{ м}$.

2. Вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$. Для этого найдем высоту $h$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Пусть $H$ - середина $AC$. Тогда $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$h^2 + 12^2 = 15^2$

$h^2 + 144 = 225$

$h^2 = 225 - 144 = 81$

$h = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$.

В системе СИ: $h = 0.09 \text{ м}$.

Теперь найдем площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108 \text{ см}^2$.

В системе СИ: $S = \frac{1}{2} \cdot 0.24 \cdot 0.09 = 0.0108 \text{ м}^2$.

3. Вычислим радиус $r$ вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4 \text{ см}$.

В системе СИ: $r = \frac{0.0108}{0.27} = 0.04 \text{ м}$.

Таким образом, радиус сферы равен $4 \text{ см}$.

Ответ: $4 \text{ см}$

405. a) Каждая сторона ромба, равная $6\sqrt{2}$ см, касается шара, радиус которого 5 см. Найдите площадь ромба, если его плоскость удалена от центра шара на 4 см.

б) Диагонали ромба 15 см и 20 см. Сфера радиуса 10 см касается всех сторон ромба. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

a)

Дано:
Сторона ромба $a = 6\sqrt{2}$ см
Радиус шара $R = 5$ см
Расстояние от центра шара до плоскости ромба $d = 4$ см

Перевод в СИ:
$a = 6\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м
$R = 5 \cdot 10^{-2}$ м
$d = 4 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:
Площадь ромба $S$

Решение:
Поскольку каждая сторона ромба касается шара, это означает, что в ромб можно вписать окружность, и центр этой окружности будет лежать на перпендикуляре, опущенном из центра шара на плоскость ромба. Радиус этой вписанной окружности $r$ связан с радиусом шара $R$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости ромба соотношением Пифагора:

$r^2 + d^2 = R^2$

Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Площадь ромба может быть найдена как произведение стороны на высоту. Высота ромба $h$ равна удвоенному радиусу вписанной окружности: $h = 2r$.

$h = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем площадь ромба $S$:

$S = a \cdot h = 6\sqrt{2} \cdot 6 = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{2}$ см$^2$.

б)

Дано:
Диагональ ромба $d_1 = 15$ см
Диагональ ромба $d_2 = 20$ см
Радиус сферы $R = 10$ см

Перевод в СИ:
$d_1 = 15 \cdot 10^{-2}$ м
$d_2 = 20 \cdot 10^{-2}$ м
$R = 10 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:
Расстояние от центра сферы до плоскости ромба $h_{сферы}$

Решение:
Сначала найдем площадь ромба по его диагоналям:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.

Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и взаимно перпендикулярны. Используя теорему Пифагора для половины диагоналей:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$a = \sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2 + \left(\frac{20}{2}\right)^2} = \sqrt{(7.5)^2 + (10)^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5$ см.

Поскольку сфера касается всех сторон ромба, в ромб можно вписать окружность. Радиус этой вписанной окружности $r$ связан с площадью ромба $S$ и его стороной $a$ формулой $S = a \cdot h$, где $h$ - высота ромба, а $h = 2r$.

$r = \frac{S}{2a} = \frac{150}{2 \cdot 12.5} = \frac{150}{25} = 6$ см.

Расстояние от центра сферы до плоскости ромба $h_{сферы}$, радиус сферы $R$ и радиус вписанной в ромб окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой:

$h_{сферы}^2 + r^2 = R^2$

$h_{сферы} = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

406. a) Докажите, что если две сферы имеют три общие точки, то они пересекаются по окружности, содержащейся в плоскости, перпендикулярной прямой, проходящей через их центры.

б) Найдите длину линии пересечения сфер, радиусы которых равны 50 мм и 58 мм, а расстояние между их центрами 72 мм.

а) Докажите, что если две сферы имеют три общие точки, то они пересекаются по окружности, содержащейся в плоскости, перпендикулярной прямой, проходящей через их центры.

Рассмотрим две сферы $S_1$ и $S_2$ с центрами $C_1(x_1, y_1, z_1)$ и $C_2(x_2, y_2, z_2)$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно.

Уравнение сферы $S_1$: $(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2 = R_1^2$

Уравнение сферы $S_2$: $(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 + (z-z_2)^2 = R_2^2$

Любая общая точка $(x, y, z)$ обеих сфер должна удовлетворять обоим уравнениям. Вычтем второе уравнение из первого:

$( (x-x_1)^2 - (x-x_2)^2 ) + ( (y-y_1)^2 - (y-y_2)^2 ) + ( (z-z_1)^2 - (z-z_2)^2 ) = R_1^2 - R_2^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-x_1 - (x-x_2))(x-x_1 + x-x_2) + (y-y_1 - (y-y_2))(y-y_1 + y-y_2) + (z-z_1 - (z-z_2))(z-z_1 + z-z_2) = R_1^2 - R_2^2$

Упрощаем выражения в скобках:

$(x_2-x_1)(2x - x_1 - x_2) + (y_2-y_1)(2y - y_1 - y_2) + (z_2-z_1)(2z - z_1 - z_2) = R_1^2 - R_2^2$

Это уравнение является линейным относительно $x, y, z$, то есть представляет собой уравнение плоскости вида $Ax + By + Cz + D = 0$.

Нормальный вектор этой плоскости имеет компоненты $A = 2(x_2-x_1)$, $B = 2(y_2-y_1)$, $C = 2(z_2-z_1)$.

Вектор, соединяющий центры сфер, $\vec{C_1C_2}$ имеет компоненты $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

Так как нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (A, B, C)$ параллелен вектору $\vec{C_1C_2}$ (они коллинеарны, $\vec{n} = 2\vec{C_1C_2}$), то эта плоскость перпендикулярна прямой, проходящей через центры сфер $C_1$ и $C_2$.

Все точки пересечения двух сфер лежат в этой плоскости. Поскольку дано, что сферы имеют три общие точки, которые по определению сферы не могут быть коллинеарными (три точки, не лежащие на одном диаметре, определяют единственную плоскость), эти три точки однозначно определяют окружность. Таким образом, линия пересечения двух сфер, если она не является одной точкой касания, всегда является окружностью. Эта окружность лежит в найденной плоскости.

Ответ:

б) Найдите длину линии пересечения сфер, радиусы которых равны 50 мм и 58 мм, а расстояние между их центрами 72 мм.

Дано:

$R_1 = 50\text{ мм}$

$R_2 = 58\text{ мм}$

$d = 72\text{ мм}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 50\text{ мм} = 0.05\text{ м}$

$R_2 = 58\text{ мм} = 0.058\text{ м}$

$d = 72\text{ мм} = 0.072\text{ м}$

Найти:

$L$ – длина линии пересечения (окружности).

Решение:

Пусть $r$ – радиус окружности пересечения сфер. Пусть $O$ – центр этой окружности. Точка $O$ лежит на отрезке, соединяющем центры сфер $C_1$ и $C_2$. Расстояние от $O$ до $C_1$ обозначим $x$, а до $C_2$ – $(d-x)$. Любая точка $P$ на окружности пересечения образует прямоугольные треугольники $C_1OP$ и $C_2OP$, так как плоскость окружности перпендикулярна линии, соединяющей центры.

Из прямоугольного треугольника $C_1OP$ (по теореме Пифагора):

$R_1^2 = x^2 + r^2 \quad (1)$

Из прямоугольного треугольника $C_2OP$:

$R_2^2 = (d-x)^2 + r^2 \quad (2)$

Выразим $r^2$ из обоих уравнений:

$r^2 = R_1^2 - x^2$

$r^2 = R_2^2 - (d-x)^2$

Приравняем выражения для $r^2$:

$R_1^2 - x^2 = R_2^2 - (d-x)^2$

Раскроем скобки $(d-x)^2$:

$R_1^2 - x^2 = R_2^2 - (d^2 - 2dx + x^2)$

$R_1^2 - x^2 = R_2^2 - d^2 + 2dx - x^2$

Сократим $-x^2$ с обеих сторон уравнения:

$R_1^2 = R_2^2 - d^2 + 2dx$

Теперь выразим $x$:

$2dx = R_1^2 - R_2^2 + d^2$

$x = \frac{R_1^2 - R_2^2 + d^2}{2d}$

Подставим числовые значения:

$x = \frac{50^2 - 58^2 + 72^2}{2 \cdot 72}$

$x = \frac{2500 - 3364 + 5184}{144}$

$x = \frac{4320}{144}$

$x = 30\text{ мм}$

Теперь найдем радиус окружности пересечения $r$ из уравнения (1):

$r^2 = R_1^2 - x^2$

$r^2 = 50^2 - 30^2$

$r^2 = 2500 - 900$

$r^2 = 1600$

$r = \sqrt{1600}$

$r = 40\text{ мм}$

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$.

$L = 2 \pi \cdot 40$

$L = 80 \pi \text{ мм}$

Ответ:

Длина линии пересечения сфер составляет $80 \pi \text{ мм}$.

407. a) Докажите, что если хорды $AB$ и $CD$ шара пересекаются в точке $M$, то $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

б) Сферу радиуса $\sqrt{41}$ см пересекают две перпендикулярные плоскости по равным окружностям с общей хордой 6 см. Найдите радиусы этих окружностей.

а) Докажите, что если хорды $AB$ и $CD$ шара пересекаются в точке $M$, то $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ шара пересекаются в точке $M$. Поскольку эти хорды лежат в одной плоскости, они являются хордами окружности, образованной пересечением этой плоскости с шаром. Рассмотрим эту окружность.

Соединим точки $A$ с $C$ и $D$ с $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$.

• Углы $\angle CAM$ (или $\angle CAB$) и $\angle CDB$ (или $\angle CDA$) являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$. Следовательно, они равны: $\angle CAM = \angle CDB$.

• Углы $\angle ACM$ (или $\angle ACD$) и $\angle DBM$ (или $\angle DBA$) являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AD$. Следовательно, они равны: $\angle ACM = \angle DBM$.

• Углы $\angle AMC$ и $\angle DMB$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$. Следовательно, они равны: $\angle AMC = \angle DMB$.

Поскольку два угла (или даже три) одного треугольника равны двум углам (или трем) другого треугольника, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$ подобны по признаку подобия по двум углам (AA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$ \frac{AM}{DM} = \frac{CM}{BM} $

Перемножая крест-на-крест, получаем:$ AM \cdot BM = CM \cdot DM $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Сферу радиуса $\sqrt{41}$ см пересекают две перпендикулярные плоскости по равным окружностям с общей хордой 6 см. Найдите радиусы этих окружностей.

Дано:
Радиус сферы $R = \sqrt{41}$ см.
Две перпендикулярные плоскости.
Окружности, образованные пересечением, равны.
Длина общей хорды $L = 6$ см.

Перевод в СИ:
$R = \sqrt{41} \cdot 10^{-2}$ м
$L = 6 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:
Радиус окружностей $r$.

Решение:
Пусть $O$ - центр сферы, а $R$ - её радиус. Пусть две перпендикулярные плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ пересекают сферу по окружностям $C_1$ и $C_2$ соответственно.

Поскольку окружности $C_1$ и $C_2$ равны, их радиусы $r_1$ и $r_2$ равны ($r_1 = r_2 = r$). Это также означает, что расстояния от центра сферы $O$ до плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$ равны. Обозначим это расстояние как $d$.

Для любой окружности, полученной пересечением сферы плоскостью, справедливо соотношение: $d^2 = R^2 - r^2$.

Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры окружностей $C_1$ и $C_2$ соответственно. Тогда $OO_1 = d$ и $OO_2 = d$.

Отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $\Pi_1$, а отрезок $OO_2$ перпендикулярен плоскости $\Pi_2$. Поскольку плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ перпендикулярны, то и отрезки $OO_1$ и $OO_2$ перпендикулярны друг другу.

Таким образом, треугольник $\triangle OO_1O_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора:$ O_1O_2^2 = OO_1^2 + OO_2^2 = d^2 + d^2 = 2d^2 $

Пусть $AB$ - общая хорда окружностей $C_1$ и $C_2$. Длина этой хорды $L = 6$ см. Пусть $K$ - середина хорды $AB$. Тогда $AK = KB = L/2 = 6/2 = 3$ см.

Отрезок $O_1K$ перпендикулярен хорде $AB$ (радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен хорде). Аналогично, отрезок $O_2K$ перпендикулярен хорде $AB$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1KA$ (катеты $O_1K$ и $AK$, гипотенуза $O_1A=r$):$ O_1K^2 = O_1A^2 - AK^2 = r^2 - 3^2 = r^2 - 9 $

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle O_2KA$:$ O_2K^2 = O_2A^2 - AK^2 = r^2 - 3^2 = r^2 - 9 $

Поскольку хорда $AB$ является общей для обеих окружностей, она лежит на линии пересечения плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Так как отрезки $O_1K$ и $O_2K$ перпендикулярны этой линии (хорде $AB$) и лежат в перпендикулярных плоскостях $\Pi_1$ и $\Pi_2$ соответственно, то угол между ними $\angle O_1KO_2$ равен $90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle O_1KO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. По теореме Пифагора:$ O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2 $Подставим найденные значения $O_1K^2$ и $O_2K^2$:$ O_1O_2^2 = (r^2 - 9) + (r^2 - 9) = 2(r^2 - 9) $

Теперь у нас есть два выражения для $O_1O_2^2$:$ 2d^2 = 2(r^2 - 9) $Разделим обе части на 2:$ d^2 = r^2 - 9 $

Мы также знаем, что $d^2 = R^2 - r^2$. Приравняем два выражения для $d^2$:$ R^2 - r^2 = r^2 - 9 $$ R^2 + 9 = 2r^2 $

Подставим значение $R = \sqrt{41}$ см:$ (\sqrt{41})^2 + 9 = 2r^2 $$ 41 + 9 = 2r^2 $$ 50 = 2r^2 $$ r^2 = 25 $$ r = 5 $ см (радиус не может быть отрицательным)

Ответ:
$r = 5$ см.

408. Докажите, что если через точку C проведены к сфере касательная CM (M – точка касания) и прямая, пересекающая сферу в точках A и B, то $CM^2 = CA \cdot CB$.

Дано:

Сфера с центром O и радиусом R.

Точка C, расположенная вне сферы.

Касательная к сфере $CM$, где $M$ - точка касания.

Прямая, проходящая через точку C и пересекающая сферу в точках $A$ и $B$.

Найти:

Доказать, что $CM^2 = CA \cdot CB$.

Решение:

1. Соединим центр сферы $O$ с точкой касания $M$. Радиус $OM$ перпендикулярен касательной $CM$ в точке касания $M$. Следовательно, треугольник $\triangle OCM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle OCM$ имеем:

$OC^2 = OM^2 + CM^2$

Так как $OM$ является радиусом сферы, то $OM = R$. Подставляя это значение, получаем:

$OC^2 = R^2 + CM^2$

Отсюда выразим $CM^2$:

$CM^2 = OC^2 - R^2$

3. Рассмотрим прямую, проходящую через точку C и пересекающую сферу в точках $A$ и $B$. Проведем перпендикуляр $OK$ из центра сферы $O$ к хорде $AB$. Известно, что перпендикуляр, опущенный из центра сферы на хорду, делит ее пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой хорды $AB$, то есть $AK = KB$.

4. Треугольник $\triangle OKA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. По теореме Пифагора для $\triangle OKA$:

$OA^2 = OK^2 + AK^2$

Так как $OA$ является радиусом сферы, то $OA = R$. Подставляя это значение, получаем:

$R^2 = OK^2 + AK^2$

Отсюда выразим $AK^2$:

$AK^2 = R^2 - OK^2$

5. Точки $C$, $A$, $B$ лежат на одной прямой. Так как $K$ - середина отрезка $AB$, то длины отрезков $CA$ и $CB$ можно выразить через $CK$ и $AK$ (или $KB$).

Если $A$ лежит между $C$ и $B$ (что является стандартным расположением для секущей из внешней точки), то $CA = CK - AK$ и $CB = CK + KB = CK + AK$.

Произведение $CA \cdot CB$ равно:

$CA \cdot CB = (CK - AK)(CK + AK)$

$CA \cdot CB = CK^2 - AK^2$

6. Треугольник $\triangle OKC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$, поскольку $OK$ перпендикулярен прямой $CAB$. По теореме Пифагора для $\triangle OKC$:

$OC^2 = OK^2 + CK^2$

Отсюда выразим $CK^2$:

$CK^2 = OC^2 - OK^2$

7. Теперь подставим выражения для $CK^2$ и $AK^2$ в формулу для $CA \cdot CB$:

$CA \cdot CB = (OC^2 - OK^2) - (R^2 - OK^2)$

$CA \cdot CB = OC^2 - OK^2 - R^2 + OK^2$

$CA \cdot CB = OC^2 - R^2$

8. Сравнивая полученные выражения для $CM^2$ и $CA \cdot CB$:

Мы получили $CM^2 = OC^2 - R^2$ и $CA \cdot CB = OC^2 - R^2$.

Следовательно:

$CM^2 = CA \cdot CB$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $CM^2 = CA \cdot CB$.

409. В сосуд формы полусферы с внутренним диаметром 5 дм налита вода до уровня 1 дм. Сосуд надо наклонить, но так, чтобы вода из него не выливалась. Найдите множество допустимых значений величины угла наклона.

Дано:Внутренний диаметр полусферы $D = 5$ дм.Уровень воды в сосуде $h_0 = 1$ дм.

Перевод в СИ:$D = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$$h_0 = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:Множество допустимых значений величины угла наклона $\alpha$.

Решение:

Радиус полусферы $R$ равен половине внутреннего диаметра: $R = \frac{D}{2}$.$R = \frac{5 \text{ дм}}{2} = 2.5 \text{ дм}$.

Для удобства анализа геометрической ситуации, поместим центр сферы в начало координат $(0,0,0)$. Сосуд-полусфера будет занимать область $x^2+y^2+z^2 \le R^2$ при $z \le 0$. В этой системе координат дно сосуда находится в точке $(0,0,-R)$, а его край (обод) лежит в плоскости $z=0$.

Начальный уровень воды $h_0 = 1$ дм измеряется от дна сосуда. Следовательно, поверхность воды в ненаклонённом сосуде находится на высоте $z_{water,0}$ относительно центра сферы:$z_{water,0} = -R + h_0 = -2.5 \text{ дм} + 1 \text{ дм} = -1.5 \text{ дм}$.

Расстояние от центра сферы до плоскости водной поверхности в перпендикулярном направлении (в данном случае вдоль оси $z$) равно $d = |z_{water,0}| = |-1.5 \text{ дм}| = 1.5 \text{ дм}$. Поскольку объем воды в сосуде остается постоянным, это расстояние $d$ от центра сферы до водной поверхности также будет постоянным при наклоне сосуда, так как вода всегда принимает горизонтальное положение, образуя собой часть сферы (шаровой сегмент).

При наклоне сосуда на угол $\alpha$, его ось симметрии поворачивается на угол $\alpha$ относительно истинной вертикали. Водная поверхность при этом всегда остается горизонтальной (ее плоскость перпендикулярна истинной вертикали).

Для того чтобы вода не вылилась из сосуда, плоскость водной поверхности в наклонённом положении должна находиться ниже или на уровне самой нижней точки обода полусферы (края сосуда), из которой вода могла бы вылиться.

Рассмотрим край (обод) полусферы. Изначально он является окружностью в плоскости $z=0$. При наклоне сосуда на угол $\alpha$ вокруг горизонтальной оси (например, оси $x$), самая нижняя точка на этом ободе (которая изначально была бы $(0, -R, 0)$) будет иметь координату $z_{rim,min} = -R \sin\alpha$ относительно центра сферы. (Если представить себе вращение точки $(0, -R, 0)$ в плоскости $yz$ вокруг начала координат на угол $\alpha$, ее новая $z$-координата будет $-R \sin\alpha$).

Водная поверхность по-прежнему представляет собой горизонтальную плоскость, находящуюся на расстоянии $d$ от центра сферы. Поскольку вода заполняет нижнюю часть сферы, уравнение плоскости воды в глобальной (неподвижной) системе координат будет $z = -d$.

Условие невыливания воды заключается в том, что плоскость воды должна быть ниже или совпадать с самой низкой точкой обода:$z_{water} \le z_{rim,min}$.$-d \le -R \sin\alpha$.

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:$d \ge R \sin\alpha$.

Выразим $\sin\alpha$ из этого неравенства:$\sin\alpha \le \frac{d}{R}$.

Подставим числовые значения для $d$ и $R$:$\sin\alpha \le \frac{1.5 \text{ дм}}{2.5 \text{ дм}}$.$\sin\alpha \le \frac{3}{5}$.$\sin\alpha \le 0.6$.

Угол наклона $\alpha$ по определению является неотрицательной величиной (величина угла), и его максимальное значение не может превышать $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан), поскольку при $\alpha=90^\circ$ сосуд лежит на боку, и если вода не вылилась, то она находится в нем.Следовательно, множество допустимых значений угла наклона $\alpha$ ограничено:$0 \le \alpha \le \arcsin(0.6)$.

Значение $\arcsin(0.6)$ составляет приблизительно $36.87^\circ$.