Номер 409, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

409. В сосуд формы полусферы с внутренним диаметром 5 дм налита вода до уровня 1 дм. Сосуд надо наклонить, но так, чтобы вода из него не выливалась. Найдите множество допустимых значений величины угла наклона.

Дано:Внутренний диаметр полусферы $D = 5$ дм.Уровень воды в сосуде $h_0 = 1$ дм.

Перевод в СИ:$D = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$$h_0 = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:Множество допустимых значений величины угла наклона $\alpha$.

Решение:

Радиус полусферы $R$ равен половине внутреннего диаметра: $R = \frac{D}{2}$.$R = \frac{5 \text{ дм}}{2} = 2.5 \text{ дм}$.

Для удобства анализа геометрической ситуации, поместим центр сферы в начало координат $(0,0,0)$. Сосуд-полусфера будет занимать область $x^2+y^2+z^2 \le R^2$ при $z \le 0$. В этой системе координат дно сосуда находится в точке $(0,0,-R)$, а его край (обод) лежит в плоскости $z=0$.

Начальный уровень воды $h_0 = 1$ дм измеряется от дна сосуда. Следовательно, поверхность воды в ненаклонённом сосуде находится на высоте $z_{water,0}$ относительно центра сферы:$z_{water,0} = -R + h_0 = -2.5 \text{ дм} + 1 \text{ дм} = -1.5 \text{ дм}$.

Расстояние от центра сферы до плоскости водной поверхности в перпендикулярном направлении (в данном случае вдоль оси $z$) равно $d = |z_{water,0}| = |-1.5 \text{ дм}| = 1.5 \text{ дм}$. Поскольку объем воды в сосуде остается постоянным, это расстояние $d$ от центра сферы до водной поверхности также будет постоянным при наклоне сосуда, так как вода всегда принимает горизонтальное положение, образуя собой часть сферы (шаровой сегмент).

При наклоне сосуда на угол $\alpha$, его ось симметрии поворачивается на угол $\alpha$ относительно истинной вертикали. Водная поверхность при этом всегда остается горизонтальной (ее плоскость перпендикулярна истинной вертикали).

Для того чтобы вода не вылилась из сосуда, плоскость водной поверхности в наклонённом положении должна находиться ниже или на уровне самой нижней точки обода полусферы (края сосуда), из которой вода могла бы вылиться.

Рассмотрим край (обод) полусферы. Изначально он является окружностью в плоскости $z=0$. При наклоне сосуда на угол $\alpha$ вокруг горизонтальной оси (например, оси $x$), самая нижняя точка на этом ободе (которая изначально была бы $(0, -R, 0)$) будет иметь координату $z_{rim,min} = -R \sin\alpha$ относительно центра сферы. (Если представить себе вращение точки $(0, -R, 0)$ в плоскости $yz$ вокруг начала координат на угол $\alpha$, ее новая $z$-координата будет $-R \sin\alpha$).

Водная поверхность по-прежнему представляет собой горизонтальную плоскость, находящуюся на расстоянии $d$ от центра сферы. Поскольку вода заполняет нижнюю часть сферы, уравнение плоскости воды в глобальной (неподвижной) системе координат будет $z = -d$.

Условие невыливания воды заключается в том, что плоскость воды должна быть ниже или совпадать с самой низкой точкой обода:$z_{water} \le z_{rim,min}$.$-d \le -R \sin\alpha$.

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:$d \ge R \sin\alpha$.

Выразим $\sin\alpha$ из этого неравенства:$\sin\alpha \le \frac{d}{R}$.

Подставим числовые значения для $d$ и $R$:$\sin\alpha \le \frac{1.5 \text{ дм}}{2.5 \text{ дм}}$.$\sin\alpha \le \frac{3}{5}$.$\sin\alpha \le 0.6$.

Угол наклона $\alpha$ по определению является неотрицательной величиной (величина угла), и его максимальное значение не может превышать $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан), поскольку при $\alpha=90^\circ$ сосуд лежит на боку, и если вода не вылилась, то она находится в нем.Следовательно, множество допустимых значений угла наклона $\alpha$ ограничено:$0 \le \alpha \le \arcsin(0.6)$.

Значение $\arcsin(0.6)$ составляет приблизительно $36.87^\circ$.