Номер 407, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

407. a) Докажите, что если хорды $AB$ и $CD$ шара пересекаются в точке $M$, то $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

б) Сферу радиуса $\sqrt{41}$ см пересекают две перпендикулярные плоскости по равным окружностям с общей хордой 6 см. Найдите радиусы этих окружностей.

а) Докажите, что если хорды $AB$ и $CD$ шара пересекаются в точке $M$, то $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ шара пересекаются в точке $M$. Поскольку эти хорды лежат в одной плоскости, они являются хордами окружности, образованной пересечением этой плоскости с шаром. Рассмотрим эту окружность.

Соединим точки $A$ с $C$ и $D$ с $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$.

• Углы $\angle CAM$ (или $\angle CAB$) и $\angle CDB$ (или $\angle CDA$) являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу $CB$. Следовательно, они равны: $\angle CAM = \angle CDB$.

• Углы $\angle ACM$ (или $\angle ACD$) и $\angle DBM$ (или $\angle DBA$) являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AD$. Следовательно, они равны: $\angle ACM = \angle DBM$.

• Углы $\angle AMC$ и $\angle DMB$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$. Следовательно, они равны: $\angle AMC = \angle DMB$.

Поскольку два угла (или даже три) одного треугольника равны двум углам (или трем) другого треугольника, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$ подобны по признаку подобия по двум углам (AA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$ \frac{AM}{DM} = \frac{CM}{BM} $

Перемножая крест-на-крест, получаем:$ AM \cdot BM = CM \cdot DM $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Сферу радиуса $\sqrt{41}$ см пересекают две перпендикулярные плоскости по равным окружностям с общей хордой 6 см. Найдите радиусы этих окружностей.

Дано:
Радиус сферы $R = \sqrt{41}$ см.
Две перпендикулярные плоскости.
Окружности, образованные пересечением, равны.
Длина общей хорды $L = 6$ см.

Перевод в СИ:
$R = \sqrt{41} \cdot 10^{-2}$ м
$L = 6 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:
Радиус окружностей $r$.

Решение:
Пусть $O$ - центр сферы, а $R$ - её радиус. Пусть две перпендикулярные плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ пересекают сферу по окружностям $C_1$ и $C_2$ соответственно.

Поскольку окружности $C_1$ и $C_2$ равны, их радиусы $r_1$ и $r_2$ равны ($r_1 = r_2 = r$). Это также означает, что расстояния от центра сферы $O$ до плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$ равны. Обозначим это расстояние как $d$.

Для любой окружности, полученной пересечением сферы плоскостью, справедливо соотношение: $d^2 = R^2 - r^2$.

Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры окружностей $C_1$ и $C_2$ соответственно. Тогда $OO_1 = d$ и $OO_2 = d$.

Отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $\Pi_1$, а отрезок $OO_2$ перпендикулярен плоскости $\Pi_2$. Поскольку плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ перпендикулярны, то и отрезки $OO_1$ и $OO_2$ перпендикулярны друг другу.

Таким образом, треугольник $\triangle OO_1O_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора:$ O_1O_2^2 = OO_1^2 + OO_2^2 = d^2 + d^2 = 2d^2 $

Пусть $AB$ - общая хорда окружностей $C_1$ и $C_2$. Длина этой хорды $L = 6$ см. Пусть $K$ - середина хорды $AB$. Тогда $AK = KB = L/2 = 6/2 = 3$ см.

Отрезок $O_1K$ перпендикулярен хорде $AB$ (радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен хорде). Аналогично, отрезок $O_2K$ перпендикулярен хорде $AB$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1KA$ (катеты $O_1K$ и $AK$, гипотенуза $O_1A=r$):$ O_1K^2 = O_1A^2 - AK^2 = r^2 - 3^2 = r^2 - 9 $

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle O_2KA$:$ O_2K^2 = O_2A^2 - AK^2 = r^2 - 3^2 = r^2 - 9 $

Поскольку хорда $AB$ является общей для обеих окружностей, она лежит на линии пересечения плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Так как отрезки $O_1K$ и $O_2K$ перпендикулярны этой линии (хорде $AB$) и лежат в перпендикулярных плоскостях $\Pi_1$ и $\Pi_2$ соответственно, то угол между ними $\angle O_1KO_2$ равен $90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle O_1KO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. По теореме Пифагора:$ O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2 $Подставим найденные значения $O_1K^2$ и $O_2K^2$:$ O_1O_2^2 = (r^2 - 9) + (r^2 - 9) = 2(r^2 - 9) $

Теперь у нас есть два выражения для $O_1O_2^2$:$ 2d^2 = 2(r^2 - 9) $Разделим обе части на 2:$ d^2 = r^2 - 9 $

Мы также знаем, что $d^2 = R^2 - r^2$. Приравняем два выражения для $d^2$:$ R^2 - r^2 = r^2 - 9 $$ R^2 + 9 = 2r^2 $

Подставим значение $R = \sqrt{41}$ см:$ (\sqrt{41})^2 + 9 = 2r^2 $$ 41 + 9 = 2r^2 $$ 50 = 2r^2 $$ r^2 = 25 $$ r = 5 $ см (радиус не может быть отрицательным)

Ответ:
$r = 5$ см.