Номер 406, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

406. a) Докажите, что если две сферы имеют три общие точки, то они пересекаются по окружности, содержащейся в плоскости, перпендикулярной прямой, проходящей через их центры.

б) Найдите длину линии пересечения сфер, радиусы которых равны 50 мм и 58 мм, а расстояние между их центрами 72 мм.

а) Докажите, что если две сферы имеют три общие точки, то они пересекаются по окружности, содержащейся в плоскости, перпендикулярной прямой, проходящей через их центры.

Рассмотрим две сферы $S_1$ и $S_2$ с центрами $C_1(x_1, y_1, z_1)$ и $C_2(x_2, y_2, z_2)$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно.

Уравнение сферы $S_1$: $(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2 = R_1^2$

Уравнение сферы $S_2$: $(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 + (z-z_2)^2 = R_2^2$

Любая общая точка $(x, y, z)$ обеих сфер должна удовлетворять обоим уравнениям. Вычтем второе уравнение из первого:

$( (x-x_1)^2 - (x-x_2)^2 ) + ( (y-y_1)^2 - (y-y_2)^2 ) + ( (z-z_1)^2 - (z-z_2)^2 ) = R_1^2 - R_2^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-x_1 - (x-x_2))(x-x_1 + x-x_2) + (y-y_1 - (y-y_2))(y-y_1 + y-y_2) + (z-z_1 - (z-z_2))(z-z_1 + z-z_2) = R_1^2 - R_2^2$

Упрощаем выражения в скобках:

$(x_2-x_1)(2x - x_1 - x_2) + (y_2-y_1)(2y - y_1 - y_2) + (z_2-z_1)(2z - z_1 - z_2) = R_1^2 - R_2^2$

Это уравнение является линейным относительно $x, y, z$, то есть представляет собой уравнение плоскости вида $Ax + By + Cz + D = 0$.

Нормальный вектор этой плоскости имеет компоненты $A = 2(x_2-x_1)$, $B = 2(y_2-y_1)$, $C = 2(z_2-z_1)$.

Вектор, соединяющий центры сфер, $\vec{C_1C_2}$ имеет компоненты $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

Так как нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (A, B, C)$ параллелен вектору $\vec{C_1C_2}$ (они коллинеарны, $\vec{n} = 2\vec{C_1C_2}$), то эта плоскость перпендикулярна прямой, проходящей через центры сфер $C_1$ и $C_2$.

Все точки пересечения двух сфер лежат в этой плоскости. Поскольку дано, что сферы имеют три общие точки, которые по определению сферы не могут быть коллинеарными (три точки, не лежащие на одном диаметре, определяют единственную плоскость), эти три точки однозначно определяют окружность. Таким образом, линия пересечения двух сфер, если она не является одной точкой касания, всегда является окружностью. Эта окружность лежит в найденной плоскости.

Ответ:

б) Найдите длину линии пересечения сфер, радиусы которых равны 50 мм и 58 мм, а расстояние между их центрами 72 мм.

Дано:

$R_1 = 50\text{ мм}$

$R_2 = 58\text{ мм}$

$d = 72\text{ мм}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 50\text{ мм} = 0.05\text{ м}$

$R_2 = 58\text{ мм} = 0.058\text{ м}$

$d = 72\text{ мм} = 0.072\text{ м}$

Найти:

$L$ – длина линии пересечения (окружности).

Решение:

Пусть $r$ – радиус окружности пересечения сфер. Пусть $O$ – центр этой окружности. Точка $O$ лежит на отрезке, соединяющем центры сфер $C_1$ и $C_2$. Расстояние от $O$ до $C_1$ обозначим $x$, а до $C_2$ – $(d-x)$. Любая точка $P$ на окружности пересечения образует прямоугольные треугольники $C_1OP$ и $C_2OP$, так как плоскость окружности перпендикулярна линии, соединяющей центры.

Из прямоугольного треугольника $C_1OP$ (по теореме Пифагора):

$R_1^2 = x^2 + r^2 \quad (1)$

Из прямоугольного треугольника $C_2OP$:

$R_2^2 = (d-x)^2 + r^2 \quad (2)$

Выразим $r^2$ из обоих уравнений:

$r^2 = R_1^2 - x^2$

$r^2 = R_2^2 - (d-x)^2$

Приравняем выражения для $r^2$:

$R_1^2 - x^2 = R_2^2 - (d-x)^2$

Раскроем скобки $(d-x)^2$:

$R_1^2 - x^2 = R_2^2 - (d^2 - 2dx + x^2)$

$R_1^2 - x^2 = R_2^2 - d^2 + 2dx - x^2$

Сократим $-x^2$ с обеих сторон уравнения:

$R_1^2 = R_2^2 - d^2 + 2dx$

Теперь выразим $x$:

$2dx = R_1^2 - R_2^2 + d^2$

$x = \frac{R_1^2 - R_2^2 + d^2}{2d}$

Подставим числовые значения:

$x = \frac{50^2 - 58^2 + 72^2}{2 \cdot 72}$

$x = \frac{2500 - 3364 + 5184}{144}$

$x = \frac{4320}{144}$

$x = 30\text{ мм}$

Теперь найдем радиус окружности пересечения $r$ из уравнения (1):

$r^2 = R_1^2 - x^2$

$r^2 = 50^2 - 30^2$

$r^2 = 2500 - 900$

$r^2 = 1600$

$r = \sqrt{1600}$

$r = 40\text{ мм}$

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$.

$L = 2 \pi \cdot 40$

$L = 80 \pi \text{ мм}$

Ответ:

Длина линии пересечения сфер составляет $80 \pi \text{ мм}$.