Номер 410, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

19. Площадь поверхности шара. III. Тела вращения и их элементы - номер 410, страница 130.

Условие.

410. a) Верно ли, что площадь поверхности шара равна произведению длины окружности его большого круга на диаметр?

б) Как изменится площадь поверхности шара, если его диаметр увеличить в 3 раза?

Решение.

Решение 2 (rus).

a)

Площадь поверхности шара выражается формулой $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара.

Диаметр шара $D = 2R$, откуда радиус можно выразить как $R = \frac{D}{2}$.

Подставим выражение для радиуса через диаметр в формулу площади поверхности шара:

$S = 4\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{D^2}{4} = \pi D^2$.

Длина окружности его большого круга выражается формулой $L = 2\pi R$.

Так как $R = \frac{D}{2}$, то длина окружности большого круга в терминах диаметра будет $L = 2\pi \frac{D}{2} = \pi D$.

Теперь найдем произведение длины окружности его большого круга на диаметр:

Произведение $= L \cdot D = (\pi D) \cdot D = \pi D^2$.

Сравнивая полученное произведение $L \cdot D = \pi D^2$ с формулой площади поверхности шара $S = \pi D^2$, видим, что они тождественны.

Ответ: Верно.

б)

Пусть начальный диаметр шара равен $D_1$.

Тогда начальная площадь поверхности шара $S_1 = \pi D_1^2$ (используем формулу площади через диаметр, выведенную в пункте а)).

Если диаметр шара увеличить в 3 раза, то новый диаметр $D_2 = 3D_1$.

Найдем новую площадь поверхности шара $S_2$, подставив $D_2$ в формулу площади:

$S_2 = \pi D_2^2 = \pi (3D_1)^2$.

Раскроем скобки:

$S_2 = \pi (9D_1^2) = 9\pi D_1^2$.

Чтобы определить, как изменилась площадь, найдем отношение новой площади к начальной площади:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{9\pi D_1^2}{\pi D_1^2}$.

Сокращаем $\pi D_1^2$ из числителя и знаменателя:

$\frac{S_2}{S_1} = 9$.

Это означает, что новая площадь поверхности шара в 9 раз больше начальной площади.

Ответ: Площадь поверхности шара увеличится в 9 раз.