Номер 417, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

417. Шар касается всех сторон правильного треугольника, периметр которого равен 18 см. Найдите площадь поверхности шара, если расстояние от его центра до плоскости треугольника равно 3 см.

Дано:

периметр правильного треугольника $P = 18 \text{ см}$

расстояние от центра шара до плоскости треугольника $h = 3 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$P = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

$h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности шара $S_{\text{шара}}$

Решение:

1. Найдем сторону правильного треугольника $a$.

Периметр правильного треугольника $P$ связан со стороной $a$ формулой $P = 3a$.

Отсюда $a = \frac{P}{3} = \frac{0.18 \text{ м}}{3} = 0.06 \text{ м}$.

2. Найдем радиус вписанной окружности правильного треугольника $r$.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r = \frac{0.06 \text{ м}}{2\sqrt{3}} = \frac{0.03}{\sqrt{3}} \text{ м} = \frac{0.03\sqrt{3}}{3} \text{ м} = 0.01\sqrt{3} \text{ м}$.

3. Найдем радиус шара $R$.

Поскольку шар касается всех сторон правильного треугольника, проекция центра шара на плоскость треугольника совпадает с центром вписанной окружности этого треугольника. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника ($h$) и радиус вписанной окружности треугольника ($r$) являются катетами прямоугольного треугольника. Гипотенузой этого треугольника является радиус шара ($R$), так как он представляет собой расстояние от центра шара до точки касания на стороне треугольника.

По теореме Пифагора: $R^2 = h^2 + r^2$.

$R^2 = (0.03 \text{ м})^2 + (0.01\sqrt{3} \text{ м})^2$

$R^2 = 0.0009 \text{ м}^2 + (0.0001 \cdot 3) \text{ м}^2$

$R^2 = 0.0009 \text{ м}^2 + 0.0003 \text{ м}^2$

$R^2 = 0.0012 \text{ м}^2$

$R = \sqrt{0.0012} \text{ м} = \sqrt{\frac{12}{10000}} \text{ м} = \frac{2\sqrt{3}}{100} \text{ м} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$.

4. Найдем площадь поверхности шара $S_{\text{шара}}$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{\text{шара}} = 4\pi R^2$.

$S_{\text{шара}} = 4\pi (0.0012 \text{ м}^2)$

$S_{\text{шара}} = 0.0048\pi \text{ м}^2$.

Переведем ответ обратно в квадратные сантиметры:

$S_{\text{шара}} = 0.0048\pi \text{ м}^2 \cdot (100 \text{ см/м})^2 = 0.0048\pi \cdot 10000 \text{ см}^2 = 48\pi \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь поверхности шара составляет $48\pi \text{ см}^2$.