Номер 420, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

420. Шар радиуса $r$ вписан в цилиндр, около которого описан шар. Найдите радиус описанного шара.

Дано:

Радиус шара, вписанного в цилиндр: $r_{вп} = r$

Шар радиуса $r_{вп}$ вписан в цилиндр.

Около этого цилиндра описан шар.

Перевод в СИ не требуется, так как задача оперирует символьными величинами.

Найти:

Радиус описанного шара: $R_{оп}$

Решение

1. Если шар радиуса $r$ вписан в цилиндр, это означает, что шар касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, а также его боковой поверхности. Из этого условия следует, что:

• Высота цилиндра $H_{цил}$ равна диаметру вписанного шара: $H_{цил} = 2r$.
• Радиус основания цилиндра $R_{цил}$ равен радиусу вписанного шара: $R_{цил} = r$.

2. Если вокруг цилиндра описан шар, это означает, что цилиндр вписан в этот шар. Вершины (точки на окружностях оснований) цилиндра лежат на поверхности описанного шара. Центр описанного шара совпадает с центром цилиндра.

Радиус описанного шара $R_{оп}$ можно найти, рассмотрев прямоугольное сечение цилиндра, проходящее через его ось. В таком сечении цилиндр представляет собой прямоугольник со сторонами $2R_{цил}$ (диаметр основания) и $H_{цил}$ (высота), а описанный шар - окружность, проходящая через все четыре вершины этого прямоугольника.

Радиус описанного шара $R_{оп}$ является половиной диагонали этого прямоугольника. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон прямоугольника. Таким образом, для радиуса описанного шара $R_{оп}$ мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания цилиндра ($R_{цил}$), половиной высоты цилиндра ($H_{цил}/2$) и радиусом описанного шара ($R_{оп}$), который является гипотенузой этого треугольника.

Применяем теорему Пифагора:

$R_{оп}^2 = (R_{цил})^2 + \left(\frac{H_{цил}}{2}\right)^2$

Подставим известные значения $R_{цил} = r$ и $H_{цил} = 2r$:

$R_{оп}^2 = (r)^2 + \left(\frac{2r}{2}\right)^2$

$R_{оп}^2 = r^2 + (r)^2$

$R_{оп}^2 = r^2 + r^2$

$R_{оп}^2 = 2r^2$

$R_{оп} = \sqrt{2r^2}$

$R_{оп} = r\sqrt{2}$

Ответ:

Радиус описанного шара равен $r\sqrt{2}$.