Номер 426, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

426. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого увеличивается на $20\pi\text{ дм}^2$ при увеличении радиуса шара на 1 дм.

Дано:

увеличение площади поверхности шара: $\Delta S = 20\pi \text{ дм}^2$

увеличение радиуса шара: $\Delta R = 1 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$\Delta S = 20\pi \text{ дм}^2 = 20\pi \times (0.1 \text{ м})^2 = 20\pi \times 0.01 \text{ м}^2 = 0.2\pi \text{ м}^2$

$\Delta R = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

начальный радиус шара: $R$

Решение:

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ - радиус шара.

Пусть начальный радиус шара равен $R$. Тогда его начальная площадь поверхности $S = 4\pi R^2$.

При увеличении радиуса на $\Delta R$, новый радиус станет $R' = R + \Delta R$.

Новая площадь поверхности шара $S' = 4\pi (R + \Delta R)^2$.

По условию задачи, площадь поверхности увеличивается на $\Delta S$, то есть $S' - S = \Delta S$.

Подставим выражения для $S$ и $S'$ в уравнение:

$4\pi (R + \Delta R)^2 - 4\pi R^2 = \Delta S$

Вынесем $4\pi$ за скобки:

$4\pi [(R + \Delta R)^2 - R^2] = \Delta S$

Раскроем скобки $(R + \Delta R)^2$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(R + \Delta R)^2 = R^2 + 2R\Delta R + (\Delta R)^2$

Подставим это обратно в уравнение:

$4\pi [R^2 + 2R\Delta R + (\Delta R)^2 - R^2] = \Delta S$

Сократим $R^2$:

$4\pi [2R\Delta R + (\Delta R)^2] = \Delta S$

Теперь подставим числовые значения из раздела "Перевод в СИ":

$\Delta S = 0.2\pi \text{ м}^2$

$\Delta R = 0.1 \text{ м}$

$4\pi [2R(0.1) + (0.1)^2] = 0.2\pi$

Выполним умножение и возведение в степень:

$4\pi [0.2R + 0.01] = 0.2\pi$

Разделим обе части уравнения на $4\pi$:

$0.2R + 0.01 = \frac{0.2\pi}{4\pi}$

$0.2R + 0.01 = 0.05$

Вычтем $0.01$ из обеих частей уравнения:

$0.2R = 0.05 - 0.01$

$0.2R = 0.04$

Разделим обе части уравнения на $0.2$:

$R = \frac{0.04}{0.2}$

$R = 0.2 \text{ м}$

Переведем полученный результат обратно в дециметры, так как исходные данные были в дм:

$R = 0.2 \text{ м} \times \frac{10 \text{ дм}}{1 \text{ м}} = 2 \text{ дм}$

Ответ:

2 дм