Номер 433, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

433. a) Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота призмы равна 24 см, а диагональ ее боковой грани равна 26 см. Найдите радиус основания цилиндра.

б) Правильная треугольная призма, все ребра которой равны $a$, вписана в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

а)

Дано:

• Призма: правильная треугольная.
• Цилиндр описан около призмы.
• Высота призмы $h_п = 24$ см.
• Диагональ боковой грани $d = 26$ см.

Перевод в СИ: Данные уже в сантиметрах, которые не являются единицами СИ. Однако, для данной задачи достаточно оставить их в сантиметрах, так как ответ также будет в сантиметрах. Перевод в метры: $h_п = 0.24$ м, $d = 0.26$ м.

Найти:

• Радиус основания цилиндра $R_{ц}$.

Решение:

1. Поскольку цилиндр описан около правильной треугольной призмы, высота цилиндра равна высоте призмы, а радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около основания призмы. Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник.

2. Рассмотрим боковую грань призмы. Она является прямоугольником. Обозначим сторону основания призмы (сторону равностороннего треугольника) как $a$. Высота призмы равна $h_п$. Диагональ боковой грани $d$ связана с $a$ и $h_п$ по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + h_п^2$

3. Подставим известные значения:

$26^2 = a^2 + 24^2$

$676 = a^2 + 576$

$a^2 = 676 - 576$

$a^2 = 100$

$a = \sqrt{100} = 10$ см.

4. Радиус $R_{ц}$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, определяется формулой:

$R_{ц} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

5. Подставим значение $a$:

$R_{ц} = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см.

Рационализируем знаменатель:

$R_{ц} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R_{ц} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

б)

Дано:

• Призма: правильная треугольная.
• Все ребра призмы равны $a$.
• Призма вписана в цилиндр.

Перевод в СИ: Величина $a$ является произвольной длиной, поэтому перевод в СИ не требуется, ответ будет выражен через $a$.

Найти:

• Площадь осевого сечения цилиндра $S_{ос}$.

Решение:

1. Если правильная треугольная призма вписана в цилиндр, это означает, что вершины оснований призмы лежат на окружностях оснований цилиндра. Следовательно, радиус основания цилиндра $R_{ц}$ равен радиусу окружности, описанной около основания призмы.

2. Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. По условию, все ребра призмы равны $a$. Это означает, что сторона основания равностороннего треугольника равна $a$, и высота призмы (а значит, и высота цилиндра) также равна $a$.

3. Радиус $R_{ц}$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, определяется формулой:

$R_{ц} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

4. Высота цилиндра $H_{ц}$ равна высоте призмы, то есть:

$H_{ц} = a$

5. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра ($2R_{ц}$), а другая сторона равна высоте цилиндра ($H_{ц}$).

6. Площадь осевого сечения $S_{ос}$ вычисляется как произведение его сторон:

$S_{ос} = (2R_{ц}) \cdot H_{ц}$

7. Подставим выражения для $R_{ц}$ и $H_{ц}$:

$S_{ос} = 2 \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \cdot a$

$S_{ос} = \frac{2a^2}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$S_{ос} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $S_{ос} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{3}$.