Номер 437, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

437. Докажите, используя рисунок 161, что площадь поверхности шарового сегмента равна площади круга $S = \pi l^2$, имеющего радиусом отрезок $l$, который проведен от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием (задача Архимеда).

Рисунок 161

Решение

Для доказательства используем общеизвестные формулы для площади поверхности шарового сегмента и геометрические соотношения, следующие из рисунка 161.

Пусть $R$ – радиус сферы, $h$ – высота шарового сегмента (отрезок $AO_1$ на рисунке), $r$ – радиус основания сегмента (отрезок $O_1C$), и $l$ – отрезок, проведенный от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием (отрезок $AC$).

Площадь поверхности шарового сегмента (исключая площадь основания) определяется формулой:

$S_{\text{сегмента}} = 2 \pi R h$

Площадь круга с радиусом $l$ определяется формулой:

$S_{\text{круга}} = \pi l^2$

Нам необходимо доказать, что $S_{\text{сегмента}} = S_{\text{круга}}$, то есть $2 \pi R h = \pi l^2$. Это эквивалентно доказательству равенства $2 R h = l^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_1C$, где $A$ – вершина сегмента, $O_1$ – центр основания сегмента, $C$ – точка на окружности основания. По теореме Пифагора имеем:

$l^2 = r^2 + h^2 \quad \text{(Уравнение 1)}$

Теперь рассмотрим центр сферы $O$. Отрезок $OC$ является радиусом сферы, поэтому $OC = R$. Отрезок $OO_1$ – это расстояние от центра сферы до центра основания сегмента. Так как $AO_1 = h$ и $AO = R$ (радиус сферы), то $OO_1 = R - h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_1C$. По теореме Пифагора имеем:

$OC^2 = OO_1^2 + O_1C^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = (R - h)^2 + r^2$

Раскроем скобки $(R - h)^2$:

$R^2 = R^2 - 2Rh + h^2 + r^2$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = -2Rh + h^2 + r^2$

Перенесем $2Rh$ в левую часть уравнения:

$2Rh = h^2 + r^2 \quad \text{(Уравнение 2)}$

Сравнивая Уравнение 1 ($l^2 = r^2 + h^2$) и Уравнение 2 ($2Rh = r^2 + h^2$), мы видим, что их правые части равны. Следовательно, равны и их левые части:

$l^2 = 2Rh$

Теперь подставим это равенство в формулу площади поверхности шарового сегмента:

$S_{\text{сегмента}} = 2 \pi R h = \pi (2Rh)$

Поскольку $2Rh = l^2$, получаем:

$S_{\text{сегмента}} = \pi l^2$

Это выражение соответствует площади круга с радиусом $l$. Таким образом, доказано, что площадь поверхности шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом отрезок $l$, проведенный от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.

Ответ: Доказано.