Номер 443, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

443. В конус вписана правильная треугольная пирамида, высота которой равна 20 см, а расстояние от основания этой высоты до плоскости боковой грани пирамиды равно 12 см. Найдите радиус сферы, описанной около этого конуса.

Дано:

Высота правильной треугольной пирамиды $H_{пирамиды} = 20 \text{ см}$.

Расстояние от основания высоты пирамиды до плоскости боковой грани пирамиды $r_{вписанной\_основания} = 12 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$H_{пирамиды} = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$.

$r_{вписанной\_основания} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Найти:

Радиус сферы, описанной около конуса $R_s$.

Решение:

Так как правильная треугольная пирамида вписана в конус, это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (правильный треугольник) вписано в основание конуса (круг). Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса: $H = H_{пирамиды} = 20 \text{ см}$.

Основание пирамиды — это правильный треугольник. Основание высоты пирамиды совпадает с центром этого треугольника. Расстояние от центра правильного треугольника до его стороны (плоскости боковой грани) является радиусом вписанной в треугольник окружности. Этот радиус $r_{вписанной\_основания}$ равен $12 \text{ см}$.

Радиус основания конуса $R_c$ равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника основания пирамиды. Для правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: $R_c = 2 \cdot r_{вписанной\_основания}$.

Вычислим радиус основания конуса:$R_c = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Для сферы, описанной около конуса, радиус $R_s$ может быть найден по формуле, которая связывает радиус основания конуса $R_c$ и его высоту $H$:$R_s = \frac{R_c^2 + H^2}{2H}$.

Подставим известные значения $R_c = 24 \text{ см}$ и $H = 20 \text{ см}$:$R_s = \frac{(24 \text{ см})^2 + (20 \text{ см})^2}{2 \cdot 20 \text{ см}}$$R_s = \frac{576 \text{ см}^2 + 400 \text{ см}^2}{40 \text{ см}}$$R_s = \frac{976 \text{ см}^2}{40 \text{ см}}$$R_s = 24.4 \text{ см}$.

Ответ:

Радиус сферы, описанной около этого конуса, равен $24.4 \text{ см}$.