Номер 446, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

446. Высота цилиндра 6 см, а радиус его основания 5 см. Тогда площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его оси на расстоянии 4 см от нее, равна:

1) $30\sqrt{2}$ см$^2$;

2) $24\sqrt{3}$ см$^2$;

3) $24$ см$^2$;

4) $36$ см$^2$;

5) $30$ см$^2$.

Дано:

$H = 6 \text{ см}$ (высота цилиндра)

$R = 5 \text{ см}$ (радиус основания)

$d = 4 \text{ см}$ (расстояние от оси до сечения)

Перевод в СИ:

$H = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$d = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$S$ (площадь сечения)

Решение:

Сечение цилиндра, проведенное параллельно его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$. Другая сторона — это длина хорды, которая образуется в основании цилиндра, находящаяся на расстоянии $d$ от центра.

Рассмотрим основание цилиндра, которое является кругом с радиусом $R$. Сечение пересекает основание по хорде. Расстояние от центра круга до этой хорды равно $d$. Половина длины хорды $x$, радиус $R$ и расстояние $d$ образуют прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора:

$R^2 = d^2 + x^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = R^2 - d^2$

Подставим значения из условия задачи:

$x^2 = (5 \text{ см})^2 - (4 \text{ см})^2$

$x^2 = 25 \text{ см}^2 - 16 \text{ см}^2$

$x^2 = 9 \text{ см}^2$

Найдем $x$:

$x = \sqrt{9 \text{ см}^2}$

$x = 3 \text{ см}$

Длина всей хорды (ширина прямоугольного сечения) равна $2x$:

Ширина сечения $= 2 \cdot x = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Высота прямоугольного сечения равна высоте цилиндра $H = 6 \text{ см}$.

Площадь прямоугольного сечения $S$ вычисляется как произведение его сторон:

$S = \text{Высота сечения} \cdot \text{Ширина сечения}$

$S = H \cdot (2x)$

$S = 6 \text{ см} \cdot 6 \text{ см}$

$S = 36 \text{ см}^2$

Ответ:

$36 \text{ см}^2$