Номер 452, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

452. Площадь основания конуса равна $1 \text{ м}^2$, а его образующая наклонена к основанию под углом $60^\circ$. Площадь боковой поверхности этого конуса равна:

1) $2 \text{ м}^2$;

2) $1 \text{ м}^2$;

3) $1,5 \text{ м}^2$;

4) $\sqrt{3} \text{ м}^2$;

5) $0,75\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Дано:

$S_{осн} = 1 \text{ м}^2$

Угол наклона образующей к основанию $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в системе СИ.

Найти:

$S_{бок}$

Решение:

Площадь основания конуса задается формулой $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ – радиус основания. Известно, что $S_{осн} = 1 \text{ м}^2$.

$1 = \pi r^2$

Отсюда находим квадрат радиуса:

$r^2 = \frac{1}{\pi}$

Радиус основания будет:

$r = \sqrt{\frac{1}{\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$

Образующая конуса ($l$), радиус основания ($r$) и высота конуса ($h$) образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона образующей к основанию – это угол между образующей и радиусом, то есть $\alpha = 60^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике косинус угла $\alpha$ равен отношению прилежащего катета (радиуса $r$) к гипотенузе (образующей $l$):

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Подставляем известные значения:

$\cos(60^\circ) = \frac{r}{l}$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{r}{l}$

Из этого уравнения выражаем образующую $l$ через радиус $r$:

$l = 2r$

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Подставляем выражение для $l$:

$S_{бок} = \pi r (2r)$

$S_{бок} = 2 \pi r^2$

Мы уже нашли, что $r^2 = \frac{1}{\pi}$. Подставляем это значение:

$S_{бок} = 2 \pi \left(\frac{1}{\pi}\right)$

$S_{бок} = 2 \text{ м}^2$

Ответ: 2 м²