Номер 458, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

458. Шар радиуса 3 дм касается всех сторон правильного треугольника со стороной 6 дм. Тогда расстояние от центра шара до плоскости этого треугольника равно:

1) 2,5 дм;

2) 3 дм;

3) $\sqrt{6}$ дм;

4) $2\sqrt{2}$ дм;

5) $\sqrt{5}$ дм.

Дано

Радиус шара: $R = 3 \text{ дм}$

Сторона правильного треугольника: $a = 6 \text{ дм}$

Перевод в СИ

$R = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

$a = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от центра шара до плоскости треугольника: $H$

Решение

Поскольку шар касается всех сторон правильного треугольника, его центр проецируется в центр вписанной окружности этого треугольника. Для правильного треугольника центр вписанной окружности, центр описанной окружности и центроид совпадают.

Радиус $r$ вписанной окружности в правильный треугольник со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 6 \text{ дм}$:

$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ дм}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром шара $O$, проекцией центра шара на плоскость треугольника $I$ (центр вписанной окружности) и точкой касания шара со стороной треугольника $P$.

Катет $OI$ - это искомое расстояние $H$ от центра шара до плоскости треугольника.

Катет $IP$ - это радиус вписанной окружности треугольника $r$, поскольку точка $P$ лежит на стороне треугольника и является точкой касания вписанной окружности.

Гипотенуза $OP$ - это радиус шара $R$, так как $P$ является точкой касания шара со стороной (плоскостью, содержащей сторону), и отрезок от центра шара до точки касания перпендикулярен этой плоскости и равен радиусу шара.

Применяем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $OIP$:

$H^2 + r^2 = R^2$

Выразим $H$:

$H = \sqrt{R^2 - r^2}$

Подставим известные значения $R = 3 \text{ дм}$ и $r = \sqrt{3} \text{ дм}$:

$H = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2}$

$H = \sqrt{9 - 3}$

$H = \sqrt{6} \text{ дм}$

Ответ:

Расстояние от центра шара до плоскости этого треугольника равно $\sqrt{6} \text{ дм}$.