Номер 460, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

460. Радиус сферы – 7 см. Сечение сферы двумя перпендикулярными плоскостями – две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Радиус этих окружностей равен:

1) 6 см;

2) 4,5 см;

3) $3\sqrt{2}$ см;

4) 5 см;

5) $4\sqrt{2}$ см.

Дано:

Радиус сферы: $R = 7$ см

Длина общей хорды двух окружностей: $L = 2$ см

Перевод в СИ:

Радиус сферы: $R = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

Длина общей хорды: $L = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус этих окружностей: $r$

Решение:

Пусть $R$ — радиус сферы, а $r$ — радиус окружностей, полученных в сечении. Так как окружности равны, то их плоскости находятся на одинаковом расстоянии $h$ от центра сферы.

Для любой окружности, полученной в сечении сферы, справедливо соотношение:

$R^2 = r^2 + h^2$

Подставим известное значение $R = 7$ см:

$7^2 = r^2 + h^2$

$49 = r^2 + h^2 \quad (1)$

Две перпендикулярные плоскости, создающие сечения, образуют две равные окружности, имеющие общую хорду. Длина этой хорды $L = 2$ см.

Расположим центр сферы в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку плоскости перпендикулярны и окружности равны, можно симметрично расположить центры окружностей. Пусть центр первой окружности $O_1 = (h,0,0)$, а плоскость первой окружности — $x=h$. Тогда точки на этой окружности $(h,y,z)$ удовлетворяют уравнению $y^2+z^2=r^2$.

Пусть центр второй окружности $O_2 = (0,h,0)$, а плоскость второй окружности — $y=h$. Тогда точки на этой окружности $(x,h,z)$ удовлетворяют уравнению $x^2+z^2=r^2$.

Общая хорда является пересечением этих двух окружностей, т.е. точками, удовлетворяющими обоим условиям:

$x=h$ и $y^2+z^2=r^2$

$y=h$ и $x^2+z^2=r^2$

Подставив $x=h$ во второе уравнение, получим $h^2+z^2=r^2$. Аналогично, подставив $y=h$ в первое уравнение, получим $h^2+z^2=r^2$.

Таким образом, точки общей хорды имеют координаты $(h,h,z)$, где $z^2 = r^2 - h^2$.

Крайние точки хорды будут $(h, h, -\sqrt{r^2-h^2})$ и $(h, h, \sqrt{r^2-h^2})$.

Длина хорды $L$ равна расстоянию между этими точками:

$L = 2\sqrt{r^2-h^2}$

По условию $L = 2$ см:

$2 = 2\sqrt{r^2-h^2}$

$1 = \sqrt{r^2-h^2}$

Возведем обе стороны в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{r^2-h^2})^2$

$1 = r^2 - h^2 \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $r^2 + h^2 = 49$

2) $r^2 - h^2 = 1$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(r^2 + h^2) + (r^2 - h^2) = 49 + 1$

$2r^2 = 50$

$r^2 = 25$

$r = \sqrt{25}$

$r = 5$ (радиус должен быть положительным)

Радиус окружностей равен 5 см.

Ответ: 5 см