Страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

459. Диагонали ромба равны 15 см и 20 см. Сфера касается всех сторон ромба. Если расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно 8 см, то радиус сферы равен:

1) 10 см;

2) $8\sqrt{2}$ см;

3) 8,75 см;

4) 9 см;

5) 12 см.

Дано:

Диагонали ромба: $d_1 = 15$ см, $d_2 = 20$ см.

Расстояние от центра сферы до плоскости ромба: $h = 8$ см.

Перевод в СИ:

$d_1 = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$d_2 = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы: $R$

Решение:

Сфера касается всех сторон ромба. Это означает, что проекция центра сферы на плоскость ромба совпадает с центром вписанной в ромб окружности. Расстояние от центра сферы до любой из сторон ромба равно радиусу сферы $R$. Расстояние от проекции центра сферы (то есть центра вписанной окружности ромба) до стороны ромба равно радиусу вписанной окружности $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы, его проекцией на плоскость ромба и точкой касания сферы со стороной ромба. Катеты этого треугольника — расстояние от центра сферы до плоскости ромба $h$ и радиус вписанной в ромб окружности $r$. Гипотенуза — радиус сферы $R$. По теореме Пифагора имеем: $R^2 = h^2 + r^2$.

1. Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Его катеты равны $d_1/2$ и $d_2/2$, а гипотенуза — сторона ромба $a$.

$d_1/2 = 15 \text{ см} / 2 = 7.5 \text{ см}$

$d_2/2 = 20 \text{ см} / 2 = 10 \text{ см}$

По теореме Пифагора:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$a^2 = (7.5)^2 + (10)^2$

$a^2 = 56.25 + 100$

$a^2 = 156.25$

$a = \sqrt{156.25} = 12.5 \text{ см}$

2. Найдем площадь ромба $S$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 150 \text{ см}^2$

3. Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Площадь ромба также может быть выражена как произведение стороны ромба на его высоту $h_{ромба}$. Высота ромба в два раза больше радиуса вписанной окружности ($h_{ромба} = 2r$).

$S = a \cdot h_{ромба} = a \cdot (2r)$

Отсюда радиус вписанной окружности $r$ равен:

$r = \frac{S}{2a}$

$r = \frac{150 \text{ см}^2}{2 \cdot 12.5 \text{ см}} = \frac{150 \text{ см}^2}{25 \text{ см}} = 6 \text{ см}$

4. Теперь используем теорему Пифагора для нахождения радиуса сферы $R$:

$R^2 = h^2 + r^2$

$R^2 = (8 \text{ см})^2 + (6 \text{ см})^2$

$R^2 = 64 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2$

$R^2 = 100 \text{ см}^2$

$R = \sqrt{100 \text{ см}^2} = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.

460. Радиус сферы – 7 см. Сечение сферы двумя перпендикулярными плоскостями – две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Радиус этих окружностей равен:

1) 6 см;

2) 4,5 см;

3) $3\sqrt{2}$ см;

4) 5 см;

5) $4\sqrt{2}$ см.

Дано:

Радиус сферы: $R = 7$ см

Длина общей хорды двух окружностей: $L = 2$ см

Перевод в СИ:

Радиус сферы: $R = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

Длина общей хорды: $L = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус этих окружностей: $r$

Решение:

Пусть $R$ — радиус сферы, а $r$ — радиус окружностей, полученных в сечении. Так как окружности равны, то их плоскости находятся на одинаковом расстоянии $h$ от центра сферы.

Для любой окружности, полученной в сечении сферы, справедливо соотношение:

$R^2 = r^2 + h^2$

Подставим известное значение $R = 7$ см:

$7^2 = r^2 + h^2$

$49 = r^2 + h^2 \quad (1)$

Две перпендикулярные плоскости, создающие сечения, образуют две равные окружности, имеющие общую хорду. Длина этой хорды $L = 2$ см.

Расположим центр сферы в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку плоскости перпендикулярны и окружности равны, можно симметрично расположить центры окружностей. Пусть центр первой окружности $O_1 = (h,0,0)$, а плоскость первой окружности — $x=h$. Тогда точки на этой окружности $(h,y,z)$ удовлетворяют уравнению $y^2+z^2=r^2$.

Пусть центр второй окружности $O_2 = (0,h,0)$, а плоскость второй окружности — $y=h$. Тогда точки на этой окружности $(x,h,z)$ удовлетворяют уравнению $x^2+z^2=r^2$.

Общая хорда является пересечением этих двух окружностей, т.е. точками, удовлетворяющими обоим условиям:

$x=h$ и $y^2+z^2=r^2$

$y=h$ и $x^2+z^2=r^2$

Подставив $x=h$ во второе уравнение, получим $h^2+z^2=r^2$. Аналогично, подставив $y=h$ в первое уравнение, получим $h^2+z^2=r^2$.

Таким образом, точки общей хорды имеют координаты $(h,h,z)$, где $z^2 = r^2 - h^2$.

Крайние точки хорды будут $(h, h, -\sqrt{r^2-h^2})$ и $(h, h, \sqrt{r^2-h^2})$.

Длина хорды $L$ равна расстоянию между этими точками:

$L = 2\sqrt{r^2-h^2}$

По условию $L = 2$ см:

$2 = 2\sqrt{r^2-h^2}$

$1 = \sqrt{r^2-h^2}$

Возведем обе стороны в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{r^2-h^2})^2$

$1 = r^2 - h^2 \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $r^2 + h^2 = 49$

2) $r^2 - h^2 = 1$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(r^2 + h^2) + (r^2 - h^2) = 49 + 1$

$2r^2 = 50$

$r^2 = 25$

$r = \sqrt{25}$

$r = 5$ (радиус должен быть положительным)

Радиус окружностей равен 5 см.

Ответ: 5 см

461. Угол при вершине осевого сечения конуса $2\alpha$, а его высота равна $\sqrt{2}$. Площадь сечения конуса, содержащего две образующие, угол между которыми $30^\circ$, равна:

1) $0,5\cos^{-2}\alpha;$

2) $0,5\cos^{-1}\alpha;$

3) $0,5\cos\alpha;$

4) $\frac{\sqrt{2}}{\cos^2\alpha};$

5) $\frac{\sqrt{2}}{2\cos^2\alpha}.$

Дано:

угол при вершине осевого сечения конуса: $2\alpha$

высота конуса: $H = \sqrt{2}$

угол между двумя образующими в сечении: $\phi = 30^\circ$

Перевод в СИ:

все величины уже в приемлемых единицах. углы в градусах, высота в условных единицах длины. перевод не требуется.

Найти:

площадь сечения конуса $S$.

Решение

1. Найдем длину образующей конуса.

осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса $L$, а основание — диаметром основания конуса $2R$. высота конуса $H$ является высотой этого треугольника, проведенной к основанию. угол при вершине осевого сечения равен $2\alpha$.

рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$. в этом треугольнике угол при вершине будет равен $\alpha$ (половина угла $2\alpha$).

используем тригонометрическое соотношение для косинуса угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{H}{L}$

из этого выражения найдем длину образующей $L$:

$L = \frac{H}{\cos(\alpha)}$

подставим известное значение высоты $H = \sqrt{2}$:

$L = \frac{\sqrt{2}}{\cos(\alpha)}$

2. Найдем площадь заданного сечения.

сечение конуса, содержащее две образующие, является равнобедренным треугольником. стороны этого треугольника равны длинам образующих $L$, а угол между ними равен $\phi = 30^\circ$.

площадь треугольника можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab\sin(\theta)$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\theta$ — угол между ними.

в нашем случае $a = L$, $b = L$, и $\theta = \phi = 30^\circ$.

$S = \frac{1}{2} L \cdot L \sin(\phi)$

$S = \frac{1}{2} L^2 \sin(\phi)$

подставим найденное выражение для $L$ и значение $\sin(30^\circ)$:

мы знаем, что $\sin(30^\circ) = 0.5$.

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{\cos(\alpha)}\right)^2 \sin(30^\circ)$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{(\sqrt{2})^2}{\cos^2(\alpha)}\right) \cdot 0.5$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{\cos^2(\alpha)}\right) \cdot 0.5$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$

$S = \frac{1}{2\cos^2(\alpha)}$

это выражение можно также записать как $S = 0.5 \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 0.5 \cos^{-2}(\alpha)$.

сравниваем с предложенными вариантами ответа. наш результат соответствует варианту 1.

Ответ:

$S = 0.5 \cos^{-2}(\alpha)$

462. В равносторонний конус вписана правильная шестиугольная пирамида. Ее двугранный угол при ребре основания равен:

1) $\text{arcctg } 2$;

2) $\arcsin 0.5$;

3) $\arccos 0.5$;

4) $\text{arcctg } 2$;

5) $\text{arcctg } 3$.

Дано

Равносторонний конус.
В конус вписана правильная шестиугольная пирамида.

Найти:

Двугранный угол при ребре основания пирамиды.

Решение

1. Пусть $R$ – радиус основания конуса, $H$ – его высота, $L$ – образующая конуса.

2. Так как конус равносторонний, это означает, что его осевое сечение является равносторонним треугольником. Следовательно, образующая конуса $L$ равна диаметру его основания, то есть $L = 2R$.

3. Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ связаны соотношением Пифагора: $H^2 + R^2 = L^2$.
Подставим $L = 2R$ в это уравнение: $H^2 + R^2 = (2R)^2$.
$H^2 + R^2 = 4R^2$.
Отсюда $H^2 = 3R^2$, следовательно, $H = R\sqrt{3}$.

4. Правильная шестиугольная пирамида вписана в конус. Это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а вершины основания шестиугольной пирамиды лежат на окружности основания конуса.
Следовательно, радиус окружности, описанной вокруг основания шестиугольной пирамиды, равен $R$.
Для правильного шестиугольника сторона $a$ равна радиусу описанной вокруг него окружности. Поэтому сторона основания пирамиды $a = R$.

5. Двугранный угол при ребре основания пирамиды – это угол между боковой гранью и основанием пирамиды. Чтобы его найти, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и апофему основания, перпендикулярную одному из рёбер основания.
Пусть $O$ – центр основания пирамиды (и конуса), $S$ – вершина пирамиды (и конуса).
Пусть $M$ – середина одной из сторон основания (ребра основания) $AB$. Тогда $OM$ – апофема основания правильного шестиугольника, а $SM$ – апофема боковой грани пирамиды. Треугольник $SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

6. Высота пирамиды $SO = H = R\sqrt{3}$.

7. Апофема правильного шестиугольника $OM$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $r_h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Так как сторона шестиугольника $a = R$, то $OM = R \frac{\sqrt{3}}{2}$.

8. Двугранный угол при ребре основания равен углу $\angle SMO$. Обозначим этот угол как $\alpha$.
В прямоугольном треугольнике $SOM$ тангенс угла $\alpha$ равен отношению длины противолежащего катета ($SO$) к длине прилежащего катета ($OM$).
$\tan \alpha = \frac{SO}{OM}$.

9. Подставим найденные значения $SO$ и $OM$:
$\tan \alpha = \frac{R\sqrt{3}}{R\frac{\sqrt{3}}{2}}$.
Сократим $R\sqrt{3}$:
$\tan \alpha = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

10. Таким образом, $\tan \alpha = 2$.
Следовательно, искомый двугранный угол $\alpha = \arctan 2$.

Ответ:

4) arctg 2

463. Около усеченного конуса, радиусы оснований которого 2 дм и 1 дм, а образующая наклонена к основанию под углом $45^{\circ}$, описана сфера.

Тогда радиус этой сферы равен:

1) $\sqrt{5}$ дм; 4) $2\sqrt{2}$ дм;

2) $2\sqrt{5}$ дм; 5) 5 дм.

3) $\sqrt{10}$ дм;

Дано:

Радиус нижнего основания усеченного конуса $R = 2$ дм.

Радиус верхнего основания усеченного конуса $r = 1$ дм.

Угол наклона образующей к основанию $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в систему СИ:

Радиус нижнего основания $R = 2$ дм $= 0.2$ м.

Радиус верхнего основания $r = 1$ дм $= 0.1$ м.

Угол наклона образующей к основанию $\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ рад.

Найти:

Радиус описанной сферы $S_R$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, вписанную в окружность. Радиус этой окружности равен радиусу описанной сферы $S_R$.

Сначала найдем высоту усеченного конуса $h$. Высота, образующая и разность радиусов образуют прямоугольный треугольник. Горизонтальный катет этого треугольника равен $R - r$.

Используем свойство прямого угла, зная, что угол наклона образующей к основанию равен $45^\circ$:

$h = (R - r) \cdot \tan \alpha$

Подставим известные значения:

$h = (2 - 1) \cdot \tan 45^\circ = 1 \cdot 1 = 1$ дм.

Теперь найдем радиус описанной сферы $S_R$. Центр описанной сферы лежит на оси конуса. Пусть ось конуса совпадает с осью $Oz$, а плоскость нижнего основания совпадает с плоскостью $Oxy$.

Координаты центра нижнего основания $(0, 0, 0)$. Точка на окружности нижнего основания, лежащая в плоскости $Oxz$: $(R, 0, 0)$.

Координаты центра верхнего основания $(0, 0, h)$. Точка на окружности верхнего основания, лежащая в плоскости $Oxz$: $(r, 0, h)$.

Пусть центр описанной сферы имеет координаты $(0, 0, z_0)$. Расстояние от центра сферы до любой точки на поверхности сферы равно радиусу сферы $S_R$. Воспользуемся точками на окружностях оснований конуса.

Расстояние от центра сферы $(0, 0, z_0)$ до точки на нижнем основании $(R, 0, 0)$ равно $S_R$:

$S_R^2 = (R - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2 + z_0^2$

Расстояние от центра сферы $(0, 0, z_0)$ до точки на верхнем основании $(r, 0, h)$ равно $S_R$:

$S_R^2 = (r - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (h - z_0)^2 = r^2 + (h - z_0)^2$

Приравняем правые части двух уравнений для $S_R^2$:

$R^2 + z_0^2 = r^2 + (h - z_0)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$R^2 + z_0^2 = r^2 + h^2 - 2hz_0 + z_0^2$

Сократим $z_0^2$ с обеих сторон уравнения:

$R^2 = r^2 + h^2 - 2hz_0$

Выразим $z_0$ из этого уравнения:

$2hz_0 = r^2 + h^2 - R^2$

$z_0 = \frac{r^2 + h^2 - R^2}{2h}$

Подставим найденные значения $R = 2$ дм, $r = 1$ дм, $h = 1$ дм:

$z_0 = \frac{1^2 + 1^2 - 2^2}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 1 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ дм.

Отрицательное значение $z_0$ означает, что центр сферы находится ниже плоскости нижнего основания конуса (при выбранной системе координат).

Теперь подставим значение $z_0$ в первое уравнение для $S_R^2$:

$S_R^2 = R^2 + z_0^2$

$S_R^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$

Таким образом, радиус сферы:

$S_R = \sqrt{5}$ дм.

Ответ:

Радиус описанной сферы равен $\sqrt{5}$ дм.

464. Дан равносторонний цилиндр. Выразите площадь его полной поверхности через радиус основания цилиндра $R$.

Дано:

Равносторонний цилиндр.

Радиус основания: $R$.

Для равностороннего цилиндра высота $H$ равна диаметру основания, то есть $H = 2R$.

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) через радиус основания $R$.

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Формула для площади полной поверхности цилиндра выглядит так:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

где $S_{осн}$ - площадь основания, $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности.

Площадь основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi R H$

Поскольку цилиндр равносторонний, его высота $H$ равна диаметру основания, то есть $H = 2R$. Подставим это значение $H$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \pi R (2R) = 4 \pi R^2$

Теперь подставим выражения для площади оснований и боковой поверхности в формулу для площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2(\pi R^2) + 4 \pi R^2$

$S_{полн} = 2 \pi R^2 + 4 \pi R^2$

Сложим слагаемые:

$S_{полн} = 6 \pi R^2$

Ответ: $S_{полн} = 6 \pi R^2$