Страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте основные свойства объемов тел.

2. Назовите основные единицы измерения объема и укажите соотношения между ними.

3. Запишите формулу объема: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) призмы.

1. Сформулируйте основные свойства объемов тел.

Объем — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом. Основные свойства объемов геометрических тел (иногда их называют аксиомами объема) следующие:
- Неотрицательность: Объем любого геометрического тела является неотрицательным числом. $V \ge 0$.
- Инвариантность: Равные (конгруэнтные) тела имеют равные объемы. Это означает, что если тело перемещать или поворачивать в пространстве как единое целое, его объем не изменится.
- Аддитивность: Если тело составлено из нескольких тел, которые не имеют общих внутренних точек (то есть они могут пересекаться только по своим границам), то его объем равен сумме объемов этих тел. Например, для двух таких тел $T_1$ и $T_2$, объем их объединения $V(T_1 \cup T_2) = V(T_1) + V(T_2)$.
- Нормированность (единица измерения): Объем куба, ребро которого равно единице длины, принимается за единицу. Такой куб называется единичным, а его объем равен 1 кубической единице.
Ответ: Основные свойства объемов: 1) объем — неотрицательная величина; 2) равные тела имеют равные объемы; 3) объем тела, составленного из нескольких тел без общих внутренних точек, равен сумме их объемов (свойство аддитивности); 4) объем единичного куба равен единице.

2. Назовите основные единицы измерения объема и укажите соотношения между ними.

Основной единицей измерения объема в Международной системе единиц (СИ) является кубический метр ($м^3$). Это объем, который занимает куб с длиной ребра 1 метр.
Часто используются и другие, производные от него, единицы:
- Кубический дециметр ($дм^3$). Поскольку 1 м = 10 дм, то $1 м^3 = 10^3 дм^3 = 1000 дм^3$.
- Кубический сантиметр ($см^3$). Поскольку 1 дм = 10 см, то $1 дм^3 = 10^3 см^3 = 1000 см^3$. Соответственно, $1 м^3 = 100^3 см^3 = 1 000 000 см^3$.
- Кубический миллиметр ($мм^3$). Поскольку 1 см = 10 мм, то $1 см^3 = 10^3 мм^3 = 1000 мм^3$.
Также широко применяются внесистемные единицы, тесно связанные с метрическими:
- Литр (л). По определению, 1 литр равен 1 кубическому дециметру: $1 л = 1 дм^3$.
- Миллилитр (мл). Это одна тысячная доля литра: $1 л = 1000 мл$. Из этого следует, что $1 мл = 1 см^3$.
Ответ: Основная единица измерения объема — кубический метр ($м^3$). Другие единицы: кубический сантиметр ($см^3$), кубический дециметр ($дм^3$), литр (л). Соотношения: $1 м^3 = 1000 дм^3 = 1 000 000 см^3$; $1 л = 1 дм^3$; $1 мл = 1 см^3$.

3. Запишите формулу объема: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) призмы.

а) куба: Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Если длина ребра куба равна $a$, то его объем $V$ вычисляется как произведение трех равных ребер:
$V = a \cdot a \cdot a = a^3$.
б) прямоугольного параллелепипеда: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений — длины, ширины и высоты. Если его измерения равны $a, b$ и $c$, то объем $V$ равен:
$V = a \cdot b \cdot c$.
в) призмы: Объем любой призмы (как прямой, так и наклонной) равен произведению площади ее основания $S_{осн}$ на высоту $h$. Высота призмы — это перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к плоскости другого основания.
$V = S_{осн} \cdot h$.
Ответ: а) формула объема куба: $V = a^3$; б) формула объема прямоугольного параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c$; в) формула объема призмы: $V = S_{осн} \cdot h$.

473. Верно ли, что если два тела равновелики, то они равны?

Нет, утверждение о том, что если два тела равновелики, то они равны, неверно.

Пояснение:

Равновеликие тела — это тела, которые имеют одинаковый объем (для трехмерных тел) или одинаковую площадь (для плоских фигур). Например, куб со стороной 2 см и прямоугольный параллелепипед с размерами 1 см, 2 см и 4 см являются равновеликими, так как их объем равен $2 \text{ см} \times 2 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}^3$ и $1 \text{ см} \times 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^3$ соответственно.

Равные тела — это тела (или фигуры), которые являются конгруэнтными, то есть их можно совместить друг с другом путем перемещения, поворота или отражения. Это означает, что у них совпадают все соответствующие размеры и форма.

Из приведенных определений следует, что равновеликие тела не обязательно являются равными. Два тела могут иметь одинаковый объем, но при этом иметь совершенно разную форму и размеры, что делает их несовместимыми. В примере с кубом и прямоугольным параллелепипедом, приведенным выше, тела имеют одинаковый объем, но очевидно, что они не являются равными (конгруэнтными), поскольку их формы различаются.

Иными словами, равенство (конгруэнтность) тел подразумевает равенство их объемов (и всех других характеристик), но обратное неверно: равенство объемов не подразумевает равенства форм и размеров.

Ответ: Нет.

474. Деревянный куб, площадь поверхности которого равна $24 \text{ см}^2$, распилили на 8 равных кубиков. Чему равен объем одного малого кубика?

Дано:

Площадь поверхности большого куба $S_{большого} = 24 \text{ см}^2$.

Количество маленьких кубиков $N = 8$.

Найти:

Объем одного малого кубика $V_{малого}$.

Решение:

1. Найдем длину ребра большого куба. Площадь поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ – длина ребра куба.

Подставим известные значения:

$24 = 6a^2$

$a^2 = \frac{24}{6}$

$a^2 = 4$

$a = \sqrt{4}$

$a = 2 \text{ см}$.

2. Большой куб распилили на 8 равных кубиков. Это означает, что каждая сторона большого куба была разделена на 2 равные части, так как $2 \times 2 \times 2 = 8$. Следовательно, длина ребра малого кубика будет в 2 раза меньше длины ребра большого куба.

Длина ребра малого кубика $a_{малого} = \frac{a}{2}$.

$a_{малого} = \frac{2 \text{ см}}{2}$

$a_{малого} = 1 \text{ см}$.

3. Найдем объем одного малого кубика. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$.

$V_{малого} = (a_{малого})^3$

$V_{малого} = (1 \text{ см})^3$

$V_{малого} = 1 \text{ см}^3$.

Ответ:

$1 \text{ см}^3$.

475. Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $8 \text{ дм}^3$. Точки $M$ и $M_1$ – середины ребер $DC$ и $D_1C_1$ соответственно. Найдите объем призмы $ADMA_1D_1M_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Объем куба $V_{куба} = 8$ дм$^3$.

Точка $M$ - середина ребра $DC$.

Точка $M_1$ - середина ребра $D_1C_1$.

Перевод в СИ:

$V_{куба} = 8$ дм$^3 = 8 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем призмы $ADMA_1D_1M_1$.

Решение:

1. Найдем длину ребра куба. Объем куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$, где $a$ - длина ребра куба.
Имеем $a^3 = 8$ дм$^3$.
Извлекаем кубический корень: $a = \sqrt[3]{8}$ дм $= 2$ дм.
В системе СИ: $a = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$.

2. Определим основание призмы $ADMA_1D_1M_1$. Основанием этой призмы является треугольник $ADM$.
Высота призмы $h$ равна длине ребра куба, то есть $h = DD_1 = a$.
Треугольник $ADM$ расположен в нижней грани куба $ABCD$. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DC$ в вершине $D$, так как это грани куба. Следовательно, треугольник $ADM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.
Длина катета $AD$ равна длине ребра куба, то есть $AD = a$.
Точка $M$ - середина ребра $DC$, поэтому длина катета $DM$ равна половине длины ребра куба: $DM = \frac{DC}{2} = \frac{a}{2}$.

3. Вычислим площадь основания призмы $S_{ADM}$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DM$
$S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$.

4. Вычислим объем призмы $ADMA_1D_1M_1$. Объем призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{основания} \cdot h$.
Подставим найденные значения:
$V_{призмы} = \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{a^3}{4}$.

5. Подставим значение $a = 2$ дм:
$V_{призмы} = \frac{(2 \text{ дм})^3}{4} = \frac{8 \text{ дм}^3}{4} = 2$ дм$^3$.
В системе СИ:
$V_{призмы} = \frac{(0.2 \text{ м})^3}{4} = \frac{0.008 \text{ м}^3}{4} = 0.002 \text{ м}^3$.

Ответ:

Объем призмы $ADMA_1D_1M_1$ равен $2$ дм$^3$.