Страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

496. Докажите, что объем правильной треугольной пирамиды равен $ \frac{1}{3}Sa $, где $ a $ – сторона основания, $ S $ – площадь сечения пирамиды, проходящего через боковое ребро и перпендикулярного основанию.

Дано:

Правильная треугольная пирамида.

Сторона основания: $a$.

Площадь сечения, проходящего через боковое ребро и перпендикулярного основанию: $S$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача символическая.

Найти:

Доказать, что объем пирамиды $V = \frac{1}{3}Sa$.

Решение:

Пусть $P$ — вершина правильной треугольной пирамиды, а $ABC$ — ее основание. Сторона основания равна $a$.

Пусть $O$ — центр основания (центроид правильного треугольника $ABC$). Высота пирамиды $h = PO$.

Площадь основания $B$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$B = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Объем пирамиды $V$ вычисляется по общей формуле:

$V = \frac{1}{3} B h$

Подставим выражение для $B$:

$V = \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) h = \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 h \quad (*)$

Теперь рассмотрим сечение пирамиды. Согласно условию, это сечение проходит через боковое ребро (например, $PA$) и перпендикулярно основанию.

Поскольку плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания $ABC$, и высота пирамиды $PO$ перпендикулярна основанию, то высота $PO$ должна лежать в плоскости сечения.

Следовательно, плоскость сечения содержит точки $P$, $A$ и $O$.

Эта плоскость пересекает основание пирамиды вдоль прямой, проходящей через $A$ и $O$. Поскольку $O$ — центроид, а $A$ — вершина, эта прямая является частью медианы $AM_c$ треугольника $ABC$, где $M_c$ — середина стороны $BC$. (Медиана $AM_c$ содержит центроид $O$).

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $PAM_c$.

Основанием этого треугольника является медиана $AM_c$ правильного треугольника $ABC$. Длина медианы (или высоты) правильного треугольника со стороной $a$ равна:

$AM_c = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Высота треугольника $PAM_c$ от вершины $P$ к основанию $AM_c$ — это высота пирамиды $PO = h$, так как $PO \perp \text{основанию}$ и $AM_c$ лежит в основании.

Площадь сечения $S$ (по условию, это площадь треугольника $PAM_c$) равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AM_c \cdot PO$

$S = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) \cdot h = \frac{a\sqrt{3}}{4} h \quad (**)$

Теперь подставим выражение для $S$ из (**) в правую часть формулы, которую нужно доказать ($V = \frac{1}{3}Sa$):

$\frac{1}{3} S a = \frac{1}{3} \left( \frac{a\sqrt{3}}{4} h \right) a$

$\frac{1}{3} S a = \frac{a^2 \sqrt{3} h}{12}$

Сравнивая полученное выражение с формулой для объема пирамиды $V$ из $(*)$, видим, что они совпадают:

$V = \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 h = \frac{1}{3} S a$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ:

Доказано, что объем правильной треугольной пирамиды равен $\frac{1}{3}Sa$.

497. В правильной усеченной пирамиде стороны верхнего и нижнего оснований соответственно равны $2\sqrt{3}$ дм и $4\sqrt{3}$ дм, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $60^{\circ}$. Найдите объем пирамиды, если она:

а) четырехугольная;

б) треугольная.

Дано:

Правильная усеченная пирамида

Сторона верхнего основания $a_1 = 2\sqrt{3}$ дм

Сторона нижнего основания $a_2 = 4\sqrt{3}$ дм

Двугранный угол при ребре нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a_1 = 2\sqrt{3} \text{ дм} \approx 3.464 \text{ дм} = 0.3464 \text{ м}$

$a_2 = 4\sqrt{3} \text{ дм} \approx 6.928 \text{ дм} = 0.6928 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Объем пирамиды $V$ для случаев:

a) четырехугольная

б) треугольная

Решение:

Общая формула для объема усеченной пирамиды: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ – высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади верхнего и нижнего оснований соответственно.

Высоту усеченной пирамиды $h$ можно найти из соотношения: $h = (r_2 - r_1) \tan \alpha$, где $r_1$ и $r_2$ – апофемы (радиусы вписанных окружностей) верхнего и нижнего оснований соответственно. Это расстояние от центра основания до середины стороны.

В данном случае $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

a) четырехугольная

В этом случае основаниями являются квадраты.

Апофема квадрата со стороной $a$ равна $r = \frac{a}{2}$.

Апофема верхнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

Апофема нижнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ дм.

Высота пирамиды: $h = (r_2 - r_1) \tan 60^\circ = (2\sqrt{3} - \sqrt{3}) \times \sqrt{3} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ дм.

Площадь верхнего основания: $S_1 = a_1^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$ дм$^2$.

Площадь нижнего основания: $S_2 = a_2^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48$ дм$^2$.

Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \times 3 (12 + 48 + \sqrt{12 \times 48})$.

$V = 1 \times (60 + \sqrt{576}) = 60 + 24 = 84$ дм$^3$.

Ответ: $84$ дм$^3$.

б) треугольная

В этом случае основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники.

Апофема правильного треугольника со стороной $a$ (радиус вписанной окружности) равна $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Апофема верхнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$ дм.

Апофема нижнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ дм.

Высота пирамиды: $h = (r_2 - r_1) \tan 60^\circ = (2 - 1) \times \sqrt{3} = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ дм.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь верхнего основания: $S_1 = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ дм$^2$.

Площадь нижнего основания: $S_2 = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ дм$^2$.

Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}(3\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + \sqrt{3\sqrt{3} \times 12\sqrt{3}})$.

$V = \frac{1}{3}\sqrt{3}(15\sqrt{3} + \sqrt{36 \times 3}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}(15\sqrt{3} + \sqrt{108})$.

Так как $\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$.

$V = \frac{1}{3}\sqrt{3}(15\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}(21\sqrt{3})$.

$V = \frac{1}{3} \times 21 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \times 21 \times 3 = 21$ дм$^3$.

Ответ: $21$ дм$^3$.

498. Котлован для пруда имеет форму правильной усеченной четырехугольной пирамиды, сторона верхнего основания которой равна 12 м, а нижнего – 10 м. Ее боковые грани наклонены к плоскостям оснований под углом $45^\circ$. Сколько кубометров воды может вместить этот котлован?

Дано:

Котлован имеет форму правильной усеченной четырехугольной пирамиды.

Сторона верхнего основания $a_1 = 12$ м.

Сторона нижнего основания $a_2 = 10$ м.

Угол наклона боковых граней к плоскостям оснований $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Объем воды, который может вместить котлован $V$.

Решение

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усеченной пирамиды, $S_1$ — площадь верхнего основания, $S_2$ — площадь нижнего основания.

Поскольку котлован имеет форму правильной усеченной четырехугольной пирамиды, его основания являются квадратами.

Площадь верхнего основания $S_1 = a_1^2 = 12^2 = 144$ м$^2$.

Площадь нижнего основания $S_2 = a_2^2 = 10^2 = 100$ м$^2$.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, проекцией апофемы боковой грани на плоскость основания и апофемой боковой грани. Угол наклона боковых граней к плоскостям оснований равен $45^\circ$.

Горизонтальный катет этого треугольника равен половине разности сторон оснований: $\frac{a_1 - a_2}{2}$.

В нашем случае, этот катет равен $\frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$ м.

Так как угол наклона $\alpha = 45^\circ$, а тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \alpha = \frac{h}{\frac{a_1 - a_2}{2}}$

$\tan 45^\circ = \frac{h}{1}$

Так как $\tan 45^\circ = 1$, то $h = 1 \cdot 1 = 1$ м.

Теперь подставим найденные значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (144 + 100 + \sqrt{144 \cdot 100})$

$V = \frac{1}{3} (244 + \sqrt{14400})$

$V = \frac{1}{3} (244 + 120)$

$V = \frac{1}{3} (364)$

$V = 121.333...$ м$^3$ или $121\frac{1}{3}$ м$^3$.

Ответ: $121\frac{1}{3}$ м$^3$.

499. Треугольная призма $ABCPB_1C_1$ (рисунок $171, а$) разделена на три пирамиды, как показано на рисунке $171, б$. Объясните, почему объемы этих пирамид равны.

a)

б)

Рисунок 171

Решение

Треугольная призма $ABCPB_1C_1$ (где $P$, $B_1$, $C_1$ - вершины верхней грани, $A$, $B$, $C$ - вершины нижней грани) имеет две конгруэнтные (равные по площади) треугольные основы: $\triangle ABC$ и $\triangle PB_1C_1$. Высота призмы $h$ - это перпендикулярное расстояние между плоскостями этих основ. Объем призмы $V_{призмы}$ равен произведению площади ее основания на высоту: $V_{призмы} = S_{ABC} \cdot h$.

Призма разделена на три треугольные пирамиды (тетраэдры), как показано на рисунке 171, б). Объем любой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h_{высоты}$, где $S_{основания}$ - площадь ее основания, а $h_{высоты}$ - высота, опущенная из вершины пирамиды на плоскость ее основания.

Рассмотрим эти три пирамиды:

Первая пирамида: $PABC$

Эта пирамида имеет в качестве основания треугольник $\triangle ABC$ (нижнее основание призмы) и вершину $P$ (вершина верхнего основания призмы). Высота этой пирамиды совпадает с высотой призмы $h$, так как $P$ лежит в плоскости, параллельной плоскости $\triangle ABC$ на расстоянии $h$. Её объем: $V_1 = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$.

Вторая пирамида: $CPB_1C_1$

Эту пирамиду можно рассматривать как пирамиду с основанием $\triangle PB_1C_1$ (верхнее основание призмы) и вершиной $C$ (вершина нижнего основания призмы). Высота этой пирамиды также совпадает с высотой призмы $h$, поскольку $C$ лежит в плоскости, параллельной плоскости $\triangle PB_1C_1$ на расстоянии $h$. Поскольку $\triangle ABC$ и $\triangle PB_1C_1$ являются основаниями одной и той же призмы, они конгруэнтны, и, следовательно, их площади равны: $S_{PB_1C_1} = S_{ABC}$. Её объем: $V_2 = \frac{1}{3} S_{PB_1C_1} \cdot h = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$. Таким образом, $V_1 = V_2$.

Третья пирамида: $PBB_1C$

Эту пирамиду можно представить как $P-BB_1C$ (вершина $P$, основание $\triangle BB_1C$). Рассмотрим две пирамиды: $PBB_1C$ и $PCC_1B_1$. Эти две пирамиды имеют общую вершину $P$. Их основания $\triangle BB_1C$ и $\triangle CC_1B_1$ лежат в одной плоскости (плоскости боковой грани $BCC_1B_1$). Диагональ $BC_1$ делит параллелограмм $BCC_1B_1$ на два конгруэнтных треугольника: $\triangle BB_1C$ и $\triangle CC_1B_1$. Следовательно, площади этих оснований равны: $S_{BB_1C} = S_{CC_1B_1}$. Так как эти две пирамиды имеют общую вершину $P$ и равные по площади основания, лежащие в одной плоскости, их объемы равны: $V(PBB_1C) = V(PCC_1B_1)$.

Теперь рассмотрим пирамиду $PCC_1B_1$. Её можно переориентировать как пирамиду $C-PB_1C_1$, то есть вторую пирамиду, $V_2$. На самом деле, пирамида $PCC_1B_1$ и пирамида $C P B_1 C_1$ - это одна и та же пирамида, просто обозначены разными способами (вершины).

Более наглядный способ для третьей пирамиды: Мы уже показали, что $V_1 = V_2 = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$. Общий объем призмы $V_{призмы}$ равен сумме объемов трех пирамид: $V_{призмы} = V_1 + V_2 + V_3$. $S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h + \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h + V_3$. $S_{ABC} \cdot h = \frac{2}{3} S_{ABC} \cdot h + V_3$. Отсюда $V_3 = S_{ABC} \cdot h - \frac{2}{3} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$. Таким образом, объем третьей пирамиды $V_3$ также равен $V_1$ и $V_2$.

Следовательно, объемы всех трех пирамид равны.

Ответ: Объемы всех трех пирамид равны, поскольку две из них имеют основания, конгруэнтные основаниям призмы, и высоту, равную высоте призмы. Их объем составляет $\frac{1}{3}$ объема призмы. Объем третьей пирамиды, составляющей оставшуюся часть призмы, также равен $\frac{1}{3}$ объема призмы, что доказывает равенство объемов всех трех пирамид.

500. Можно ли разрезать произвольную треугольную усеченную пирамиду на три равновеликие усеченные пирамиды? Если можно, то объясните, как это сделать.

Решение

Да, произвольную треугольную усеченную пирамиду можно разрезать на три равновеликие усеченные пирамиды. Для этого необходимо провести две плоскости, параллельные основаниям усеченной пирамиды.

Объяснение и метод:

Пусть дана усеченная пирамида с площадями оснований $S_1$ (нижнее, большее основание) и $S_2$ (верхнее, меньшее основание), и высотой $H$. Представим эту усеченную пирамиду как часть полной (не усеченной) пирамиды. Пусть $h_1$ - высота полной пирамиды от ее вершины до основания $S_1$, а $h_2$ - высота полной пирамиды от ее вершины до основания $S_2$. Очевидно, что $H = h_1 - h_2$.

Объем пирамиды пропорционален кубу ее высоты от вершины, или, что эквивалентно, пропорционален $3/2$ степени площади ее основания. То есть, объем пирамиды до сечения с площадью $S_x$ и высотой $h_x$ от вершины выражается как $V(h_x) = C \cdot h_x^3$, где $C$ - некоторая константа для данной полной пирамиды. Также верно, что $S_x \propto h_x^2$, следовательно, $h_x \propto \sqrt{S_x}$, и $V(h_x) \propto S_x^{3/2}$.

Объем всей усеченной пирамиды $V$ равен разности объемов двух полных пирамид: $V = V(h_1) - V(h_2) = C(h_1^3 - h_2^3)$.

Для того чтобы разрезать усеченную пирамиду на три равновеликие усеченные пирамиды, необходимо найти две промежуточные плоскости, параллельные основаниям, с высотами $h_A$ и $h_B$ от вершины полной пирамиды ($h_1 > h_A > h_B > h_2$). Объем каждой из трех частей должен быть равен $V/3$. Таким образом:

• Объем нижней части (между $S_1$ и $S_A$): $V_1 = C(h_1^3 - h_A^3) = V/3$
• Объем средней части (между $S_A$ и $S_B$): $V_2 = C(h_A^3 - h_B^3) = V/3$
• Объем верхней части (между $S_B$ и $S_2$): $V_3 = C(h_B^3 - h_2^3) = V/3$

Из этого следует, что $h_1^3 - h_A^3 = h_A^3 - h_B^3 = h_B^3 - h_2^3$. Пусть $X_i = h_i^3$. Тогда $X_1 - X_A = X_A - X_B = X_B - X_2$. Это означает, что $X_1, X_A, X_B, X_2$ образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, мы можем найти $X_A$ и $X_B$ как:

$X_A = X_1 - \frac{X_1 - X_2}{3} = \frac{2X_1 + X_2}{3}$

$X_B = X_2 + \frac{X_1 - X_2}{3} = \frac{X_1 + 2X_2}{3}$

Подставляя $X_i = h_i^3$, получаем выражения для кубов высот промежуточных сечений:

$h_A^3 = \frac{2h_1^3 + h_2^3}{3}$

$h_B^3 = \frac{h_1^3 + 2h_2^3}{3}$

Отсюда можно найти сами высоты $h_A$ и $h_B$:

$h_A = \sqrt[3]{\frac{2h_1^3 + h_2^3}{3}}$

$h_B = \sqrt[3]{\frac{h_1^3 + 2h_2^3}{3}}$

Значения $h_1$ и $h_2$ могут быть найдены, если известны $H$, $S_1$, $S_2$. Так как площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных размеров (в данном случае высот), то $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$. Отсюда $\frac{h_1}{h_2} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$. Пусть $k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$. Тогда $h_1 = k h_2$. Зная, что $H = h_1 - h_2 = k h_2 - h_2 = (k-1)h_2$, получаем $h_2 = \frac{H}{k-1}$ и $h_1 = \frac{kH}{k-1}$.

После определения $h_A$ и $h_B$ можно вычислить площади соответствующих сечений $S_A$ и $S_B$ по формулам $S_A = S_1 \left(\frac{h_A}{h_1}\right)^2$ и $S_B = S_1 \left(\frac{h_B}{h_1}\right)^2$. Эти две плоскости разрежут исходную усеченную пирамиду на три равновеликие усеченные пирамиды.

Ответ: Да, можно. Для этого необходимо провести две плоскости, параллельные основаниям, на таких высотах, чтобы кубы высот этих сечений от вершины полной пирамиды делили интервал $[h_2^3, h_1^3]$ на три равные части. Таким образом, площади этих сечений $S_A$ и $S_B$ будут удовлетворять соотношениям $S_A^{3/2} = \frac{2S_1^{3/2} + S_2^{3/2}}{3}$ и $S_B^{3/2} = \frac{S_1^{3/2} + 2S_2^{3/2}}{3}$.

501. a)
Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса в Египте – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите объем этой пирамиды.

б) Алмаз массой 42 карата имеет форму правильного октаэдра. Верно ли, что ребро этого октаэдра $\approx 1,72 \text{ см}$? (Плотность алмаза $3,5 \text{ г/см}^3$, 1 карат равен $0,2 \text{ г}.)$

a)

Дано:

$h = 150 \text{ м}$ (высота пирамиды)

$l = 220 \text{ м}$ (боковое ребро пирамиды)

Форма: правильная четырехугольная пирамида

Найти:

$V$ (объем пирамиды)

Решение:

Объем правильной четырехугольной пирамиды определяется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{base} h$

где $S_{base}$ - площадь основания, $h$ - высота пирамиды.

Так как основание - квадрат, $S_{base} = a^2$, где $a$ - длина стороны основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$ и боковым ребром $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$

Для квадрата со стороной $a$, диагональ $d = a\sqrt{2}$. Тогда $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это выражение в уравнение Пифагора:

$l^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$l^2 = h^2 + \frac{2a^2}{4}$

$l^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$

Выразим $a^2$:

$\frac{a^2}{2} = l^2 - h^2$

$a^2 = 2(l^2 - h^2)$

Подставим известные значения $h$ и $l$:

$a^2 = 2(220^2 - 150^2)$

$a^2 = 2(48400 - 22500)$

$a^2 = 2(25900)$

$a^2 = 51800 \text{ м}^2$

Теперь найдем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} a^2 h$

$V = \frac{1}{3} \times 51800 \times 150$

$V = 51800 \times 50$

$V = 2590000 \text{ м}^3$

Ответ: $2590000 \text{ м}^3$.

б)

Дано:

$m = 42 \text{ карата}$ (масса алмаза)

$\rho = 3.5 \text{ г/см}^3$ (плотность алмаза)

$1 \text{ карат} = 0.2 \text{ г}$

Форма: правильный октаэдр

Найти:

Верно ли, что ребро октаэдра $a \approx 1.72 \text{ см}$?

Перевод в СИ:

$m = 42 \text{ карата} \times 0.2 \text{ г/карат} = 8.4 \text{ г} = 0.0084 \text{ кг}$

$\rho = 3.5 \text{ г/см}^3 = 3.5 \times 10^3 \text{ кг/м}^3$

Решение:

Сначала найдем массу алмаза в граммах:

$m = 42 \text{ карата} \times 0.2 \text{ г/карат} = 8.4 \text{ г}$

Теперь вычислим объем алмаза, используя формулу $V = \frac{m}{\rho}$:

$V = \frac{8.4 \text{ г}}{3.5 \text{ г/см}^3} = 2.4 \text{ см}^3$

Объем правильного октаэдра вычисляется по формуле:

$V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$

где $a$ - длина ребра октаэдра.

Выразим $a^3$ из этой формулы:

$a^3 = \frac{3V}{\sqrt{2}}$

Подставим найденный объем $V = 2.4 \text{ см}^3$:

$a^3 = \frac{3 \times 2.4 \text{ см}^3}{\sqrt{2}} = \frac{7.2}{\sqrt{2}} \text{ см}^3$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$a^3 = \frac{7.2\sqrt{2}}{2} \text{ см}^3 = 3.6\sqrt{2} \text{ см}^3$

Используем приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$a^3 \approx 3.6 \times 1.414 \text{ см}^3 \approx 5.0904 \text{ см}^3$

Теперь найдем $a$, извлекая кубический корень:

$a = \sqrt[3]{5.0904} \text{ см}$

Проверим, насколько это значение близко к $1.72 \text{ см}$:

$1.72^3 = 1.72 \times 1.72 \times 1.72 = 2.9584 \times 1.72 = 5.090448$

Таким образом, вычисленное значение ребра $a \approx 1.72 \text{ см}$.

Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

502. Силосная яма формы усеченной четырехугольной пирамиды, основания которой – прямоугольники, причем стороны нижнего основания равны $13 \text{ м}$ и $6 \text{ м}$, а большая сторона верхнего основания $26 \text{ м}$, имеет глубину $5 \text{ м}$. Какова масса силоса, заложенного в ней, если его $1 \text{ м}^3$ весит $0,5 \text{ т}$?

Дано:

Форма силосной ямы: усеченная четырехугольная пирамида с прямоугольными основаниями.

Стороны нижнего основания: $a_1 = 13 \text{ м}$, $b_1 = 6 \text{ м}$.

Большая сторона верхнего основания: $a_2 = 26 \text{ м}$.

Глубина (высота) ямы: $h = 5 \text{ м}$.

Плотность силоса: $\rho = 0.5 \text{ т/м}^3$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 13 \text{ м}$

$b_1 = 6 \text{ м}$

$a_2 = 26 \text{ м}$

$h = 5 \text{ м}$

$\rho = 0.5 \text{ т/м}^3 = 0.5 \times 1000 \text{ кг/м}^3 = 500 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Масса силоса $m$

Решение:

Для нахождения объема усеченной пирамиды необходимо знать площади обоих оснований. Известны обе стороны нижнего основания и одна сторона (большая) верхнего основания. Будем считать, что прямоугольные основания усеченной пирамиды подобны. В этом случае отношение соответствующих сторон одинаково.

Отношение большей стороны верхнего основания к большей стороне нижнего основания равно коэффициенту подобия $k$:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{26 \text{ м}}{13 \text{ м}} = 2$

Теперь найдем меньшую сторону верхнего основания $b_2$, используя этот коэффициент подобия:

$b_2 = k \cdot b_1 = 2 \cdot 6 \text{ м} = 12 \text{ м}$

Найдем площади нижнего ($A_1$) и верхнего ($A_2$) оснований.

Площадь нижнего основания:

$A_1 = a_1 \cdot b_1 = 13 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 78 \text{ м}^2$

Площадь верхнего основания:

$A_2 = a_2 \cdot b_2 = 26 \text{ м} \cdot 12 \text{ м} = 312 \text{ м}^2$

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h (A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2})$

Подставим известные значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \text{ м} \cdot (78 \text{ м}^2 + 312 \text{ м}^2 + \sqrt{78 \text{ м}^2 \cdot 312 \text{ м}^2})$

Вычислим значение под корнем:

$\sqrt{78 \cdot 312} = \sqrt{78 \cdot (4 \cdot 78)} = \sqrt{4 \cdot 78^2} = 2 \cdot 78 = 156$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для объема:

$V = \frac{5}{3} \cdot (78 + 312 + 156)$

$V = \frac{5}{3} \cdot (546)$

$V = 5 \cdot \frac{546}{3}$

$V = 5 \cdot 182$

$V = 910 \text{ м}^3$

Масса силоса $m$ вычисляется как произведение его объема на плотность:

$m = V \cdot \rho$

$m = 910 \text{ м}^3 \cdot 0.5 \text{ т/м}^3$

$m = 455 \text{ т}$

Ответ:

Масса силоса, заложенного в яме, составляет 455 тонн.