Страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Дано:

Диаметр дна цилиндра: $D = 10 \text{ см}$

Подъем уровня воды: $h = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$D = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$h = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем камня $V_{камня}$

Решение:

Когда камень полностью погружается в воду, он вытесняет объем воды, равный его собственному объему. Поскольку сосуд имеет форму цилиндра, объем вытесненной воды можно рассчитать как объем цилиндра с тем же диаметром основания и высотой, равной подъему уровня воды.

Сначала найдем радиус основания цилиндра $R$, который равен половине диаметра $D$: $R = \frac{D}{2}$

Подставляем заданное значение диаметра: $R = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Объем вытесненной воды $V_{воды}$ (который равен объему камня $V_{камня}$) рассчитывается по формуле объема цилиндра: $V_{воды} = \pi R^2 h$

Подставляем найденный радиус $R$ и заданный подъем уровня воды $h$: $V_{воды} = \pi (5 \text{ см})^2 (2 \text{ см})$

Выполняем расчет: $V_{воды} = \pi (25 \text{ см}^2) (2 \text{ см})$

$V_{воды} = 50\pi \text{ см}^3$

Так как объем камня равен объему вытесненной воды: $V_{камня} = V_{воды} = 50\pi \text{ см}^3$

Для получения численного значения используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$: $V_{камня} \approx 50 \times 3.14159 \text{ см}^3$

$V_{камня} \approx 157.0795 \text{ см}^3$

Округляем результат до 1 см$^3$, как того требует условие задачи: $V_{камня} \approx 157 \text{ см}^3$

Ответ:

157 см$^3$

519. Длина хорды нижнего основания цилиндра равна 4см. Треугольник, образованный этой хордой и центром верхнего основания, имеет периметр 12 см и наклонен к плоскости основания цилиндра под углом $60^\circ$. Найдите объем цилиндра.

Дано:

Длина хорды нижнего основания цилиндра $l = 4 \text{ см}$

Периметр треугольника, образованного хордой и центром верхнего основания $P = 12 \text{ см}$

Угол наклона треугольника к плоскости основания $\alpha = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$l = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$P = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Объем цилиндра $V$

Решение:

Пусть $R$ – радиус основания цилиндра, $H$ – высота цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.

1. Рассмотрим треугольник, образованный хордой $AB$ нижнего основания и центром $O_2$ верхнего основания. Пусть длина хорды $AB = l = 4 \text{ см}$. Стороны этого треугольника – это $AB$, $AO_2$ и $BO_2$. Поскольку $O_2$ является центром верхнего основания, а точки $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания и равноудалены от его центра $O_1$, то отрезки $AO_2$ и $BO_2$ равны по длине. Следовательно, $\triangle ABO_2$ является равнобедренным треугольником. Периметр треугольника $P_{ABO_2} = AB + AO_2 + BO_2$. Подставляем известные значения: $12 = 4 + 2 \cdot AO_2$. Отсюда $2 \cdot AO_2 = 12 - 4 = 8 \text{ см}$, что дает $AO_2 = 4 \text{ см}$. Таким образом, $\triangle ABO_2$ имеет стороны длиной $4 \text{ см}$, $4 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. Это означает, что он является равносторонним треугольником.

2. Найдем высоту $O_2M$ этого равностороннего треугольника, где $M$ – середина хорды $AB$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$, высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a = AB = 4 \text{ см}$, поэтому $O_2M = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Рассмотрим проекцию треугольника $\triangle ABO_2$ на плоскость нижнего основания. Пусть $O_1$ – центр нижнего основания цилиндра. $M$ – середина хорды $AB$. Отрезок $O_1M$ является проекцией отрезка $O_2M$ на плоскость нижнего основания. Высота цилиндра $H$ – это отрезок $O_1O_2$, который перпендикулярен обеим плоскостям оснований. Таким образом, треугольник $\triangle O_1MO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$. Угол наклона треугольника $\triangle ABO_2$ к плоскости основания цилиндра – это угол между линией $O_2M$ и ее проекцией $O_1M$, то есть $\angle O_2MO_1 = \alpha = 60^\circ$.

4. Используя прямоугольный треугольник $\triangle O_1MO_2$, найдем высоту цилиндра $H$ и расстояние $O_1M$: $H = O_1O_2 = O_2M \cdot \sin(\angle O_2MO_1) = 2\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \text{ см}$. $O_1M = O_2M \cdot \cos(\angle O_2MO_1) = 2\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$.

5. Теперь найдем радиус основания $R$. В плоскости нижнего основания рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$, где $M$ – середина $AB$. Длина отрезка $AM = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$. По теореме Пифагора для $\triangle O_1MA$: $R^2 = O_1M^2 + AM^2$. Подставляем известные значения: $R^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7$. Следовательно, радиус основания $R = \sqrt{7} \text{ см}$.

6. Вычислим объем цилиндра по формуле $V = \pi R^2 H$: $V = \pi \cdot 7 \cdot 3 = 21\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $21\pi \text{ см}^3$

520. Прямоугольник с размерами $2a$ м и $a$ м является разверткой боковой поверхности двух разных цилиндров. Найдите отношение их объемов.

Дано

Размеры прямоугольника (развертки боковой поверхности цилиндра): $L_1 = 2a$, $L_2 = a$.

Найти:

Отношение объемов двух возможных цилиндров $V_1 : V_2$.

Решение

Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($H$), а другая — длине окружности его основания ($C = 2\pi R$), где $R$ — радиус основания.

Рассмотрим два возможных случая формирования цилиндра из данного прямоугольника:

Случай 1:

Пусть одна сторона прямоугольника ($L_1 = 2a$) является длиной окружности основания, а другая сторона ($L_2 = a$) является высотой цилиндра.

Длина окружности основания $C_1 = 2a$.

Высота цилиндра $H_1 = a$.

Найдем радиус основания $R_1$ из формулы длины окружности: $C_1 = 2\pi R_1$.

$2a = 2\pi R_1 \implies R_1 = \frac{2a}{2\pi} = \frac{a}{\pi}$.

Объем первого цилиндра $V_1$ вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.

$V_1 = \pi R_1^2 H_1 = \pi \left(\frac{a}{\pi}\right)^2 a = \pi \frac{a^2}{\pi^2} a = \frac{a^3}{\pi}$.

Случай 2:

Теперь поменяем роли сторон прямоугольника. Пусть другая сторона прямоугольника ($L_2 = a$) является длиной окружности основания, а первая сторона ($L_1 = 2a$) является высотой цилиндра.

Длина окружности основания $C_2 = a$.

Высота цилиндра $H_2 = 2a$.

Найдем радиус основания $R_2$:

$a = 2\pi R_2 \implies R_2 = \frac{a}{2\pi}$.

Объем второго цилиндра $V_2$:

$V_2 = \pi R_2^2 H_2 = \pi \left(\frac{a}{2\pi}\right)^2 (2a) = \pi \frac{a^2}{4\pi^2} (2a) = \frac{2\pi a^3}{4\pi^2} = \frac{a^3}{2\pi}$.

Найдем отношение объемов $V_1$ к $V_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{a^3}{\pi}}{\frac{a^3}{2\pi}} = \frac{a^3}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{a^3} = 2$.

Ответ:

Отношение объемов цилиндров равно $2:1$ или $2$.

521. a) Около прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны 6 см, 8 см и 10 см, описан цилиндр. Найдите его объем, если известно, что диагонали осевого сечения цилиндра взаимно перпендикулярны.

б) Найдите объем равностороннего цилиндра, вписанного в прямую треугольную призму со сторонами основания 12 см, 16 см и 20 см.

a) Около прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны 6 см, 8 см и 10 см, описан цилиндр. Найдите его объем, если известно, что диагонали осевого сечения цилиндра взаимно перпендикулярны.

Дано:

Стороны основания призмы:
$a = 6 \text{ см}$
$b = 8 \text{ см}$
$c = 10 \text{ см}$
Цилиндр описан около призмы.
Диагонали осевого сечения цилиндра взаимно перпендикулярны.

Перевод в СИ:
$a = 0.06 \text{ м}$
$b = 0.08 \text{ м}$
$c = 0.10 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра $V_{ц}$

Решение:

Проверим, является ли треугольник в основании призмы прямоугольным, используя теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$c^2 = 10^2 = 100$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным с гипотенузой $c = 10 \text{ см}$.

Если цилиндр описан около прямой призмы, то его основание является описанной окружностью для основания призмы. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны только в том случае, если этот прямоугольник является квадратом.
Следовательно, ширина осевого сечения (диаметр основания цилиндра $D = 2R$) равна его высоте $H$.
$H = D = 2R = 2 \times 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{ц} = \pi R^2 H$.
$V_{ц} = \pi \times (5 \text{ см})^2 \times 10 \text{ см} = \pi \times 25 \text{ см}^2 \times 10 \text{ см} = 250\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $250\pi \text{ см}^3$

б) Найдите объем равностороннего цилиндра, вписанного в прямую треугольную призму со сторонами основания 12 см, 16 см и 20 см.

Дано:

Стороны основания призмы:
$a_2 = 12 \text{ см}$
$b_2 = 16 \text{ см}$
$c_2 = 20 \text{ см}$
Цилиндр вписан в призму.
Цилиндр равносторонний.

Перевод в СИ:
$a_2 = 0.12 \text{ м}$
$b_2 = 0.16 \text{ м}$
$c_2 = 0.20 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра $V_{ц2}$

Решение:

Проверим, является ли треугольник в основании призмы прямоугольным:
$a_2^2 + b_2^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
$c_2^2 = 20^2 = 400$.
Так как $a_2^2 + b_2^2 = c_2^2$, треугольник является прямоугольным с гипотенузой $c_2 = 20 \text{ см}$.

Если цилиндр вписан в прямую призму, то его основание является вписанной окружностью для основания призмы. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле:
$r = \frac{a_2 + b_2 - c_2}{2}$.
$r = \frac{12 \text{ см} + 16 \text{ см} - 20 \text{ см}}{2} = \frac{28 \text{ см} - 20 \text{ см}}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см}$.

"Равносторонний цилиндр" означает, что его высота $H_2$ равна диаметру его основания $D_2 = 2r$.
$H_2 = 2r = 2 \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{ц2} = \pi r^2 H_2$.
$V_{ц2} = \pi \times (4 \text{ см})^2 \times 8 \text{ см} = \pi \times 16 \text{ см}^2 \times 8 \text{ см} = 128\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $128\pi \text{ см}^3$

522. Стальной вал формы цилиндра с образующей 97 см и диаметром основания 8,4 см обтачивается так, что его диаметр уменьшается на 0,2 см. Считая $\pi \approx 3,1416$, укажите с точностью до 1 г на сколько граммов уменьшится масса вала в результате обточки. (Плотность стали 7,4 $\text{г/см}^3$.)

Дано:

$L = 97 \text{ см}$ (длина вала)

$D_1 = 8.4 \text{ см}$ (начальный диаметр вала)

$\Delta D = 0.2 \text{ см}$ (уменьшение диаметра)

$\pi \approx 3.1416$

$\rho = 7.4 \text{ г/см}^3$ (плотность стали)

Перевод в СИ:

$L = 97 \text{ см} = 0.97 \text{ м}$

$D_1 = 8.4 \text{ см} = 0.084 \text{ м}$

$\Delta D = 0.2 \text{ см} = 0.002 \text{ м}$

$\rho = 7.4 \text{ г/см}^3 = 7.4 \times 10^3 \text{ кг/м}^3 = 7400 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$\Delta m$ (уменьшение массы вала) в граммах.

Решение:

Масса тела определяется по формуле $m = \rho V$, где $\rho$ - плотность, $V$ - объем. Уменьшение массы вала будет равно произведению плотности стали на объем удаленного материала:

$\Delta m = \rho \Delta V$

Вал имеет форму цилиндра. Объем цилиндра рассчитывается по формуле:

$V = \pi r^2 L = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 L = \frac{\pi D^2 L}{4}$

где $D$ - диаметр цилиндра, $L$ - его длина (образующая).

Начальный объем вала $V_1 = \frac{\pi D_1^2 L}{4}$.

После обточки диаметр вала уменьшился на $\Delta D$. Новый диаметр $D_2$ будет равен:

$D_2 = D_1 - \Delta D$

Подставим значения: $D_2 = 8.4 \text{ см} - 0.2 \text{ см} = 8.2 \text{ см}$.

Конечный объем вала $V_2 = \frac{\pi D_2^2 L}{4}$.

Уменьшение объема вала $\Delta V$ равно разности начального и конечного объемов:

$\Delta V = V_1 - V_2 = \frac{\pi D_1^2 L}{4} - \frac{\pi D_2^2 L}{4} = \frac{\pi L}{4} (D_1^2 - D_2^2)$

Подставим численные значения:

$L = 97 \text{ см}$

$D_1 = 8.4 \text{ см}$

$D_2 = 8.2 \text{ см}$

$\pi \approx 3.1416$

Вычислим разность квадратов диаметров:

$D_1^2 = (8.4 \text{ см})^2 = 70.56 \text{ см}^2$

$D_2^2 = (8.2 \text{ см})^2 = 67.24 \text{ см}^2$

$D_1^2 - D_2^2 = 70.56 \text{ см}^2 - 67.24 \text{ см}^2 = 3.32 \text{ см}^2$

Теперь вычислим уменьшение объема $\Delta V$:

$\Delta V = \frac{3.1416 \times 97 \text{ см}}{4} \times 3.32 \text{ см}^2$

$\Delta V = \frac{304.9352 \text{ см} \times 3.32 \text{ см}^2}{4}$

$\Delta V = \frac{1012.3831104 \text{ см}^3}{4}$

$\Delta V = 253.0957776 \text{ см}^3$

Теперь вычислим уменьшение массы $\Delta m$:

$\Delta m = \rho \Delta V = 7.4 \text{ г/см}^3 \times 253.0957776 \text{ см}^3$

$\Delta m = 1872.91 \text{ г}$

Округлим результат до 1 г, как того требует условие задачи:

$\Delta m \approx 1873 \text{ г}$

Ответ: 1873 г

523. Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под углом 60°, периметр этого сечения равен $(12 + 4\sqrt{3})$ дм. Найдите наибольший возможный объем цилиндра.

Дано:

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Пусть его стороны равны $D$ (диаметр основания) и $H$ (высота). Диагонали осевого сечения пересекаются под углом $60^\circ$. Периметр осевого сечения $P = (12 + 4\sqrt{3})$ дм.

Перевод в СИ:

$P = (12 + 4\sqrt{3})$ дм $ = (1.2 + 0.4\sqrt{3})$ м. Угол $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Наибольший возможный объем цилиндра $V_{max}$.

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $D$ (диаметр основания) и $H$ (высота цилиндра).

Периметр прямоугольника $P = 2(D + H)$. Дано $P = (12 + 4\sqrt{3})$ дм. Следовательно, $2(D + H) = 12 + 4\sqrt{3}$, откуда $D + H = 6 + 2\sqrt{3}$ дм.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть длина диагонали равна $d$. Тогда каждая половина диагонали равна $d/2$. Диагонали образуют четыре равнобедренных треугольника. Угол между диагоналями равен $60^\circ$. Это означает, что один из углов при точке пересечения равен $60^\circ$, а смежный с ним угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая для расположения угла $60^\circ$:

Случай 1: Угол $60^\circ$ находится напротив стороны $D$.

В этом случае треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной $D$, является равнобедренным с углом $60^\circ$ между равными сторонами. Следовательно, этот треугольник равносторонний. Поэтому, $D = d/2$.

Угол, находящийся напротив стороны $H$, равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Применим теорему косинусов для треугольника, образованного двумя половинами диагоналей и стороной $H$: $H^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2 \cdot (d/2) \cdot (d/2) \cdot \cos(120^\circ)$ $H^2 = d^2/4 + d^2/4 - (d^2/2) \cdot (-1/2)$ $H^2 = d^2/2 + d^2/4 = 3d^2/4$ $H = \frac{\sqrt{3}}{2}d$.

Подставим выражения для $D$ и $H$ в уравнение периметра $D+H = 6 + 2\sqrt{3}$: $\frac{d}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}d = 6 + 2\sqrt{3}$ $\frac{d}{2}(1 + \sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3}$ $d(1 + \sqrt{3}) = 12 + 4\sqrt{3}$ $d = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}-1)$ для избавления от иррациональности в знаменателе: $d = \frac{4(3 + \sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(3\sqrt{3} - 3 + 3 - \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{4(2\sqrt{3})}{2} = 4\sqrt{3}$ дм.

Теперь найдем $D$ и $H$ для этого случая: $D = d/2 = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ дм. $H = \frac{\sqrt{3}}{2}d = \frac{\sqrt{3}}{2}(4\sqrt{3}) = 2 \cdot 3 = 6$ дм.

Радиус основания цилиндра $R = D/2 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм. Объем цилиндра $V = \pi R^2 H$. $V_1 = \pi (\sqrt{3})^2 (6) = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi$ дм$^3$.

Случай 2: Угол $60^\circ$ находится напротив стороны $H$.

В этом случае треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной $H$, является равносторонним. Поэтому, $H = d/2$.

Угол, находящийся напротив стороны $D$, равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Применим теорему косинусов для треугольника, образованного двумя половинами диагоналей и стороной $D$: $D^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2 \cdot (d/2) \cdot (d/2) \cdot \cos(120^\circ)$ $D^2 = d^2/4 + d^2/4 - (d^2/2) \cdot (-1/2)$ $D^2 = d^2/2 + d^2/4 = 3d^2/4$ $D = \frac{\sqrt{3}}{2}d$.

Подставим выражения для $D$ и $H$ в уравнение периметра $D+H = 6 + 2\sqrt{3}$: $\frac{\sqrt{3}}{2}d + \frac{1}{2}d = 6 + 2\sqrt{3}$ $\frac{d}{2}(\sqrt{3} + 1) = 6 + 2\sqrt{3}$ $d( \sqrt{3} + 1) = 12 + 4\sqrt{3}$ $d = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = 4\sqrt{3}$ дм (как и в Случае 1).

Теперь найдем $D$ и $H$ для этого случая: $H = d/2 = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ дм. $D = \frac{\sqrt{3}}{2}d = \frac{\sqrt{3}}{2}(4\sqrt{3}) = 2 \cdot 3 = 6$ дм.

Радиус основания цилиндра $R = D/2 = 6/2 = 3$ дм. Объем цилиндра $V = \pi R^2 H$. $V_2 = \pi (3)^2 (2\sqrt{3}) = \pi \cdot 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\pi$ дм$^3$.

Сравниваем два возможных объема: $V_1 = 18\pi$ дм$^3$. $V_2 = 18\sqrt{3}\pi$ дм$^3$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $V_2 = 18\sqrt{3}\pi \approx 18 \cdot 1.732 \pi \approx 31.176\pi$. $V_1 = 18\pi$. Очевидно, что $V_2 > V_1$, так как $\sqrt{3} > 1$. Наибольший возможный объем цилиндра равен $18\sqrt{3}\pi$ дм$^3$.

Ответ:

Наибольший возможный объем цилиндра составляет $18\sqrt{3}\pi$ дм$^3$.

524. На изготовление открытой цилиндрической банки расходуется $75\pi \text{ см}^2$ жести. Каковы должны быть высота и радиус основания банки, чтобы ее объем был наибольшим? (Расход материала на швы не учитывается).

Дано:

Площадь поверхности открытой цилиндрической банки $S = 75\pi \text{ см}^2$.

Система СИ:

$S = 75\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Высота банки $h$ и радиус основания $r$, при которых объем банки $V$ будет наибольшим.

Решение

1. Запишем формулу площади поверхности открытой цилиндрической банки. Открытая банка состоит из одного круглого основания и боковой поверхности. Площадь основания $S_{осн} = \pi r^2$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi rh$. Общая площадь поверхности $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + 2\pi rh$.

2. По условию задачи, $S = 75\pi \text{ см}^2$. Приравниваем данную площадь к формуле:

$75\pi = \pi r^2 + 2\pi rh$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$75 = r^2 + 2rh$

Выразим высоту $h$ через радиус $r$:

$2rh = 75 - r^2$

$h = \frac{75 - r^2}{2r}$

3. Запишем формулу для объема цилиндра:

$V = \pi r^2 h$

Подставим выражение для $h$ в формулу объема, чтобы получить объем как функцию только от радиуса $r$:

$V(r) = \pi r^2 \left(\frac{75 - r^2}{2r}\right)$

Упростим выражение:

$V(r) = \frac{\pi r (75 - r^2)}{2}$

$V(r) = \frac{75\pi r - \pi r^3}{2}$

4. Для нахождения максимального объема, найдем производную функции $V(r)$ по $r$ и приравняем ее к нулю. Это позволит найти критические точки.

$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left(\frac{75\pi r - \pi r^3}{2}\right)$

$\frac{dV}{dr} = \frac{1}{2} (75\pi - 3\pi r^2)$

Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{2} (75\pi - 3\pi r^2) = 0$

$75\pi - 3\pi r^2 = 0$

$3\pi r^2 = 75\pi$

$r^2 = \frac{75\pi}{3\pi}$

$r^2 = 25$

Так как радиус должен быть положительным (геометрический смысл), получаем $r = 5 \text{ см}$.

5. Для подтверждения, что найденное значение $r$ соответствует максимуму, найдем вторую производную и проверим ее знак.

$\frac{d^2V}{dr^2} = \frac{d}{dr} \left(\frac{1}{2} (75\pi - 3\pi r^2)\right)$

$\frac{d^2V}{dr^2} = \frac{1}{2} (-6\pi r) = -3\pi r$

При $r=5$, $\frac{d^2V}{dr^2} = -3\pi(5) = -15\pi$. Поскольку вторая производная отрицательна, при $r=5$ достигается локальный максимум объема.

6. Найдем соответствующую высоту $h$, подставив найденное значение $r=5 \text{ см}$ в выражение для $h$:

$h = \frac{75 - r^2}{2r} = \frac{75 - 5^2}{2 \times 5}$

$h = \frac{75 - 25}{10} = \frac{50}{10} = 5 \text{ см}$

Ответ:

Радиус основания должен быть $5 \text{ см}$, а высота — $5 \text{ см}$.

525. Закрытая цилиндрическая бочка вмещает $128\pi$ л жидкости. Каковы должны быть высота и радиус основания бочки, чтобы на ее изготовление тратилось наименьшее количество материала? (Без учета расхода материала на швы).

Дано:

Объем цилиндрической бочки $V = 128\pi$ л.

Перевод в СИ:

Так как $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$, то объем $V = 128\pi \text{ дм}^3$. Вычисления будут проводиться в дециметрах, что является удобной единицей для данной задачи.

Найти:

Высоту $h$ и радиус основания $r$ бочки, при которых на ее изготовление тратится наименьшее количество материала (т.е. площадь полной поверхности цилиндра минимальна).

Решение:

Для закрытой цилиндрической бочки (цилиндра) объем $V$ выражается формулой:

$V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности $A$ цилиндра (наименьшее количество материала) выражается формулой:

$A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Из формулы объема выразим высоту $h$ через радиус $r$ и объем $V$:

$h = \frac{V}{\pi r^2}$

Подставим это выражение для $h$ в формулу площади поверхности:

$A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right)$

$A(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Теперь подставим заданное значение объема $V = 128\pi$ дм$^3$:

$A(r) = 2\pi r^2 + \frac{2(128\pi)}{r}$

$A(r) = 2\pi r^2 + \frac{256\pi}{r}$

Для нахождения минимальной площади поверхности, найдем производную функции $A(r)$ по $r$ и приравняем ее к нулю:

$A'(r) = \frac{d}{dr}\left(2\pi r^2 + 256\pi r^{-1}\right)$

$A'(r) = 2\pi (2r) + 256\pi (-1)r^{-2}$

$A'(r) = 4\pi r - \frac{256\pi}{r^2}$

Приравняем производную к нулю:

$4\pi r - \frac{256\pi}{r^2} = 0$

Разделим обе части уравнения на $4\pi$ (поскольку $\pi \ne 0$):

$r - \frac{64}{r^2} = 0$

$r = \frac{64}{r^2}$

$r^3 = 64$

$r = \sqrt[3]{64}$

$r = 4 \text{ дм}$

Теперь найдем соответствующую высоту $h$, используя найденное значение $r=4$ дм и заданный объем $V=128\pi$ дм$^3$:

$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{128\pi}{\pi (4)^2} = \frac{128\pi}{16\pi} = \frac{128}{16} = 8 \text{ дм}$

Для подтверждения, что это минимум, можно использовать вторую производную:

$A''(r) = \frac{d}{dr}\left(4\pi r - 256\pi r^{-2}\right)$

$A''(r) = 4\pi - 256\pi (-2)r^{-3}$

$A''(r) = 4\pi + \frac{512\pi}{r^3}$

При $r=4$ дм:

$A''(4) = 4\pi + \frac{512\pi}{4^3} = 4\pi + \frac{512\pi}{64} = 4\pi + 8\pi = 12\pi$

Так как $A''(4) = 12\pi > 0$, найденное значение $r=4$ дм соответствует минимуму площади поверхности.

Ответ:

Высота бочки должна быть $8$ дм, а радиус основания — $4$ дм.