Номер 523, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

523. Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под углом 60°, периметр этого сечения равен $(12 + 4\sqrt{3})$ дм. Найдите наибольший возможный объем цилиндра.

Дано:

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Пусть его стороны равны $D$ (диаметр основания) и $H$ (высота). Диагонали осевого сечения пересекаются под углом $60^\circ$. Периметр осевого сечения $P = (12 + 4\sqrt{3})$ дм.

Перевод в СИ:

$P = (12 + 4\sqrt{3})$ дм $ = (1.2 + 0.4\sqrt{3})$ м. Угол $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Наибольший возможный объем цилиндра $V_{max}$.

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $D$ (диаметр основания) и $H$ (высота цилиндра).

Периметр прямоугольника $P = 2(D + H)$. Дано $P = (12 + 4\sqrt{3})$ дм. Следовательно, $2(D + H) = 12 + 4\sqrt{3}$, откуда $D + H = 6 + 2\sqrt{3}$ дм.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть длина диагонали равна $d$. Тогда каждая половина диагонали равна $d/2$. Диагонали образуют четыре равнобедренных треугольника. Угол между диагоналями равен $60^\circ$. Это означает, что один из углов при точке пересечения равен $60^\circ$, а смежный с ним угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая для расположения угла $60^\circ$:

Случай 1: Угол $60^\circ$ находится напротив стороны $D$.

В этом случае треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной $D$, является равнобедренным с углом $60^\circ$ между равными сторонами. Следовательно, этот треугольник равносторонний. Поэтому, $D = d/2$.

Угол, находящийся напротив стороны $H$, равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Применим теорему косинусов для треугольника, образованного двумя половинами диагоналей и стороной $H$: $H^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2 \cdot (d/2) \cdot (d/2) \cdot \cos(120^\circ)$ $H^2 = d^2/4 + d^2/4 - (d^2/2) \cdot (-1/2)$ $H^2 = d^2/2 + d^2/4 = 3d^2/4$ $H = \frac{\sqrt{3}}{2}d$.

Подставим выражения для $D$ и $H$ в уравнение периметра $D+H = 6 + 2\sqrt{3}$: $\frac{d}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}d = 6 + 2\sqrt{3}$ $\frac{d}{2}(1 + \sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3}$ $d(1 + \sqrt{3}) = 12 + 4\sqrt{3}$ $d = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}-1)$ для избавления от иррациональности в знаменателе: $d = \frac{4(3 + \sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(3\sqrt{3} - 3 + 3 - \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{4(2\sqrt{3})}{2} = 4\sqrt{3}$ дм.

Теперь найдем $D$ и $H$ для этого случая: $D = d/2 = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ дм. $H = \frac{\sqrt{3}}{2}d = \frac{\sqrt{3}}{2}(4\sqrt{3}) = 2 \cdot 3 = 6$ дм.

Радиус основания цилиндра $R = D/2 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм. Объем цилиндра $V = \pi R^2 H$. $V_1 = \pi (\sqrt{3})^2 (6) = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi$ дм$^3$.

Случай 2: Угол $60^\circ$ находится напротив стороны $H$.

В этом случае треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной $H$, является равносторонним. Поэтому, $H = d/2$.

Угол, находящийся напротив стороны $D$, равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Применим теорему косинусов для треугольника, образованного двумя половинами диагоналей и стороной $D$: $D^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2 \cdot (d/2) \cdot (d/2) \cdot \cos(120^\circ)$ $D^2 = d^2/4 + d^2/4 - (d^2/2) \cdot (-1/2)$ $D^2 = d^2/2 + d^2/4 = 3d^2/4$ $D = \frac{\sqrt{3}}{2}d$.

Подставим выражения для $D$ и $H$ в уравнение периметра $D+H = 6 + 2\sqrt{3}$: $\frac{\sqrt{3}}{2}d + \frac{1}{2}d = 6 + 2\sqrt{3}$ $\frac{d}{2}(\sqrt{3} + 1) = 6 + 2\sqrt{3}$ $d( \sqrt{3} + 1) = 12 + 4\sqrt{3}$ $d = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = 4\sqrt{3}$ дм (как и в Случае 1).

Теперь найдем $D$ и $H$ для этого случая: $H = d/2 = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ дм. $D = \frac{\sqrt{3}}{2}d = \frac{\sqrt{3}}{2}(4\sqrt{3}) = 2 \cdot 3 = 6$ дм.

Радиус основания цилиндра $R = D/2 = 6/2 = 3$ дм. Объем цилиндра $V = \pi R^2 H$. $V_2 = \pi (3)^2 (2\sqrt{3}) = \pi \cdot 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\pi$ дм$^3$.

Сравниваем два возможных объема: $V_1 = 18\pi$ дм$^3$. $V_2 = 18\sqrt{3}\pi$ дм$^3$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $V_2 = 18\sqrt{3}\pi \approx 18 \cdot 1.732 \pi \approx 31.176\pi$. $V_1 = 18\pi$. Очевидно, что $V_2 > V_1$, так как $\sqrt{3} > 1$. Наибольший возможный объем цилиндра равен $18\sqrt{3}\pi$ дм$^3$.

Ответ:

Наибольший возможный объем цилиндра составляет $18\sqrt{3}\pi$ дм$^3$.