Номер 528, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

528. Для изготовления конического сосуда вырезан сектор, угол которого равен $216^\circ$. Найдите объем сосуда, если:

a) радиус сектора 10 см;

b) длина дуги сектора $18\pi$ дм.

Дано

$ \alpha = 216^\circ $

Перевод в СИ

$ \alpha = 216^\circ = \frac{216 \cdot \pi}{180} \text{ рад} = \frac{6\pi}{5} \text{ рад} $

Найти:

$ V $ - объем сосуда (конуса)

Решение

При сворачивании сектора в конус, радиус сектора $ R_{сект} $ становится образующей конуса $ l $, а длина дуги сектора $ L_{дуги} $ становится длиной окружности основания конуса $ C $.

Формула для объема конуса: $ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $, где $ r $ – радиус основания конуса, $ h $ – высота конуса.

Связь между образующей, радиусом и высотой конуса: $ l^2 = r^2 + h^2 $.

Длина дуги сектора: $ L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R_{сект} $.

Длина окружности основания конуса: $ C = 2\pi r $.

Из равенства $ L_{дуги} = C $ следует $ r = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot R_{сект} $.

а) радиус сектора 10 см;

Дано: $ R_{сект} = 10 \text{ см} $

Перевод в СИ: $ R_{сект} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} $

1. Найдем радиус основания конуса $ r $.

$ r = \frac{216^\circ}{360^\circ} \cdot 10 \text{ см} $

$ r = \frac{3}{5} \cdot 10 \text{ см} $

$ r = 6 \text{ см} $

2. Определим образующую конуса $ l $.

$ l = R_{сект} = 10 \text{ см} $

3. Найдем высоту конуса $ h $ по теореме Пифагора.

$ h = \sqrt{l^2 - r^2} $

$ h = \sqrt{(10 \text{ см})^2 - (6 \text{ см})^2} $

$ h = \sqrt{100 \text{ см}^2 - 36 \text{ см}^2} $

$ h = \sqrt{64 \text{ см}^2} $

$ h = 8 \text{ см} $

4. Вычислим объем конуса $ V $.

$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $

$ V = \frac{1}{3} \pi (6 \text{ см})^2 (8 \text{ см}) $

$ V = \frac{1}{3} \pi (36 \text{ см}^2) (8 \text{ см}) $

$ V = 12 \cdot 8 \pi \text{ см}^3 $

$ V = 96\pi \text{ см}^3 $

Ответ: $ 96\pi \text{ см}^3 $

б) длина дуги сектора 18π дм.

Дано: $ L_{дуги} = 18\pi \text{ дм} $

Перевод в СИ: $ L_{дуги} = 18\pi \text{ дм} = 1.8\pi \text{ м} $

1. Найдем радиус основания конуса $ r $.

Длина дуги сектора $ L_{дуги} $ становится длиной окружности основания конуса $ C $.

$ C = 2\pi r $

Поскольку $ L_{дуги} = C $, имеем:

$ 18\pi \text{ дм} = 2\pi r $

$ r = \frac{18\pi \text{ дм}}{2\pi} $

$ r = 9 \text{ дм} $

2. Найдем радиус сектора $ R_{сект} $, который является образующей конуса $ l $.

Из формулы длины дуги сектора $ L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R_{сект} $ выразим $ R_{сект} $:

$ R_{сект} = \frac{L_{дуги} \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot 2\pi} $

$ R_{сект} = \frac{18\pi \text{ дм} \cdot 360^\circ}{216^\circ \cdot 2\pi} $

$ R_{сект} = \frac{18 \cdot 360}{216 \cdot 2} \text{ дм} $

$ R_{сект} = \frac{18}{2} \cdot \frac{360}{216} \text{ дм} $

$ R_{сект} = 9 \cdot \frac{5}{3} \text{ дм} $

$ R_{сект} = 15 \text{ дм} $

Таким образом, образующая конуса $ l = 15 \text{ дм} $.

3. Найдем высоту конуса $ h $ по теореме Пифагора.

$ h = \sqrt{l^2 - r^2} $

$ h = \sqrt{(15 \text{ дм})^2 - (9 \text{ дм})^2} $

$ h = \sqrt{225 \text{ дм}^2 - 81 \text{ дм}^2} $

$ h = \sqrt{144 \text{ дм}^2} $

$ h = 12 \text{ дм} $

4. Вычислим объем конуса $ V $.

$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $

$ V = \frac{1}{3} \pi (9 \text{ дм})^2 (12 \text{ дм}) $

$ V = \frac{1}{3} \pi (81 \text{ дм}^2) (12 \text{ дм}) $

$ V = 27 \cdot 12 \pi \text{ дм}^3 $

$ V = 324\pi \text{ дм}^3 $

Ответ: $ 324\pi \text{ дм}^3 $