Номер 535, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

535. Чему равно отношение объема конуса, описанного около правильного тетраэдра, к объему вписанного в него конуса?

Дано

Дан правильный тетраэдр со стороной $a$.

Около тетраэдра описан конус $K_{опис}$ (его вершина совпадает с одной из вершин тетраэдра, а основание является окружностью, описанной около противоположной грани).

В тетраэдр вписан конус $K_{впис}$ (его вершина совпадает с той же вершиной тетраэдра, что и у описанного конуса, а основание является окружностью, вписанной в противоположную грань).

Найти:

Отношение объема описанного конуса к объему вписанного конуса, т.е. $\frac{V_{опис}}{V_{впис}}$.

Решение

Пусть сторона правильного тетраэдра равна $a$.

1. Параметры правильного тетраэдра:

Высота правильного тетраэдра $H_T$ вычисляется по формуле $H_T = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Радиус $R_C$ окружности, описанной около равностороннего треугольника (грани тетраэдра) со стороной $a$, равен $R_C = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Радиус $R_I$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник (грани тетраэдра) со стороной $a$, равен $R_I = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

2. Объем описанного конуса ($V_{опис}$):

Вершина описанного конуса совпадает с одной из вершин тетраэдра, а его основание лежит в плоскости противоположной грани и является окружностью, описанной около этой грани.

Высота описанного конуса $H_{опис}$ равна высоте тетраэдра: $H_{опис} = H_T = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Радиус основания описанного конуса $R_{опис}$ равен радиусу описанной окружности грани: $R_{опис} = R_C = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Тогда объем описанного конуса $V_{опис}$ равен:

$V_{опис} = \frac{1}{3}\pi R_{опис}^2 H_{опис} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2}{3}\right) \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{27}$.

3. Объем вписанного конуса ($V_{впис}$):

Вершина вписанного конуса совпадает с той же вершиной тетраэдра, что и у описанного конуса, а его основание лежит в той же плоскости и является окружностью, вписанной в противоположную грань.

Высота вписанного конуса $H_{впис}$ также равна высоте тетраэдра: $H_{впис} = H_T = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Радиус основания вписанного конуса $R_{впис}$ равен радиусу вписанной окружности грани: $R_{впис} = R_I = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Тогда объем вписанного конуса $V_{впис}$ равен:

$V_{впис} = \frac{1}{3}\pi R_{впис}^2 H_{впис} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2}{4 \cdot 3}\right) \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2}{12}\right) \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{108}$.

4. Отношение объемов:

Отношение объема описанного конуса к объему вписанного конуса равно:

$\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{27}}{\frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{108}} = \frac{1/27}{1/108} = \frac{108}{27} = 4$.

Ответ:

Отношение объема конуса, описанного около правильного тетраэдра, к объему вписанного в него конуса равно $4$.