Вопросы?, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ.

1. По какой формуле можно найти объем шара? Объясните, почему объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности на радиус шара.

Объем шара можно найти по формуле: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности на радиус шара: $V = \frac{1}{3} A R$.

2. Запишите формулы объемов шаровых сегмента и сектора и проиллюстрируйте их, используя чертежи.

Формула объема шарового сегмента: $V_{сегмента} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h)$.

Формула объема шарового сектора: $V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi R^2 h$.

1. По какой формуле можно найти объем шара? Объясните, почему объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности на радиус шара.

Объем шара радиусом $R$ можно найти по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Чтобы объяснить, почему объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности на радиус, представим шар как совокупность большого числа очень маленьких пирамид. Вершины всех этих пирамид находятся в центре шара, а их основания представляют собой небольшие участки на поверхности шара.

Высота каждой такой пирамиды равна радиусу шара $R$. Объем одной маленькой пирамиды равен $dV = \frac{1}{3} dS \cdot R$, где $dS$ — это площадь ее основания (участок на поверхности шара).

Чтобы найти общий объем шара, нужно сложить объемы всех этих маленьких пирамид. Сумма площадей оснований всех пирамид $dS$ будет равна общей площади поверхности шара $S$.

$V = \sum dV = \sum \frac{1}{3} dS \cdot R = \frac{1}{3} R \sum dS = \frac{1}{3} R \cdot S$

Таким образом, мы получаем формулу, связывающую объем шара с площадью его поверхности: $V = \frac{1}{3} S \cdot R$.

Мы можем проверить это утверждение, подставив известную формулу площади поверхности шара $S = 4\pi R^2$:

$V = \frac{1}{3} (4\pi R^2) \cdot R = \frac{4}{3}\pi R^3$

Это полностью совпадает с основной формулой объема шара, что и доказывает утверждение.

Ответ: Объем шара находится по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Объем шара равен одной третьей произведения площади его поверхности $S$ на радиус $R$ ($V = \frac{1}{3} S \cdot R$), потому что шар можно представить как сумму бесконечного числа пирамид с вершиной в центре шара и высотой, равной радиусу.

2. Запишите формулы объемов шаровых сегмента и сектора и проиллюстрируйте их, используя чертежи.

Шаровой сегмент — это часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

$V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$

где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Шаровой сектор — это тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из его радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

$V_{сектора} = \frac{2}{3}\pi R^2 h$

где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота соответствующего шарового сегмента.

Ответ: Формула объема шарового сегмента: $V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$. Формула объема шарового сектора: $V_{сектора} = \frac{2}{3}\pi R^2 h$.