Номер 546, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

546. Радиусы четырех шаров образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 12, а ее разность равна 4. Сравните наибольший из объемов этих шаров с суммой объемов остальных.

Пусть радиусы четырех шаров $r_1, r_2, r_3, r_4$ образуют арифметическую прогрессию. По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = r_1 = 12$, а ее разность $d = 4$. Найдем радиусы всех четырех шаров, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$r_1 = 12$
$r_2 = 12 + 1 \cdot 4 = 16$
$r_3 = 12 + 2 \cdot 4 = 20$
$r_4 = 12 + 3 \cdot 4 = 24$
Наибольшим является шар с радиусом $r_4 = 24$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Нам нужно сравнить объем наибольшего шара $V_4$ с суммой объемов остальных трех шаров $V_1 + V_2 + V_3$.
Объем наибольшего шара: $V_4 = \frac{4}{3}\pi r_4^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 24^3$.
Сумма объемов остальных шаров: $V_1 + V_2 + V_3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3 = \frac{4}{3}\pi (12^3 + 16^3 + 20^3)$.
Для сравнения объемов достаточно сравнить величины $24^3$ и $12^3 + 16^3 + 20^3$, так как общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ можно сократить.

Выполним вычисления. Заметим, что все радиусы кратны 4:
$12 = 3 \cdot 4$, $16 = 4 \cdot 4$, $20 = 5 \cdot 4$, $24 = 6 \cdot 4$.
Это позволяет упростить сравнение кубов:
Сравниваем $24^3$ и $12^3 + 16^3 + 20^3$.
Сравниваем $(6 \cdot 4)^3$ и $(3 \cdot 4)^3 + (4 \cdot 4)^3 + (5 \cdot 4)^3$.
Сравниваем $6^3 \cdot 4^3$ и $3^3 \cdot 4^3 + 4^3 \cdot 4^3 + 5^3 \cdot 4^3$.
Вынесем общий множитель $4^3$ в правой части: $6^3 \cdot 4^3$ и $4^3(3^3 + 4^3 + 5^3)$.
Сократим обе части на $4^3$, тогда нужно сравнить $6^3$ и $3^3 + 4^3 + 5^3$.
Вычислим значения:
$6^3 = 216$.
$3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.
Так как $6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3$, то и $24^3 = 12^3 + 16^3 + 20^3$. Следовательно, $V_4 = V_1 + V_2 + V_3$.

Ответ: Объем наибольшего шара равен сумме объемов остальных трех шаров.