Номер 551, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

551. Найдите объем шарового сектора, если известно, что:
а) дуга в его осевом сечении равна 120°, а стягивающая хорда равна $4\sqrt{3}$ см;
б) длина окружности основания равна $18\pi$ см, а радиус шара 15 см.

а)

Объем шарового сектора находится по формуле $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$, где $R$ – это радиус шара, а $h$ – высота соответствующего шарового сегмента (или шапочки).

Сначала найдем радиус шара $R$. В осевом сечении мы имеем круг радиуса $R$. Дуга этого круга в $120^\circ$ стягивается хордой длиной $l = 4\sqrt{3}$ см. Радиусы, проведенные к концам хорды, образуют с хордой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $R$, и углом между ними $\alpha = 120^\circ$.

По теореме косинусов для этого треугольника:

$l^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\alpha)$

$(4\sqrt{3})^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(120^\circ)$

$16 \cdot 3 = 2R^2(1 - (-\frac{1}{2}))$

$48 = 2R^2(\frac{3}{2})$

$48 = 3R^2$

$R^2 = 16$, откуда $R = 4$ см.

Теперь найдем высоту шарового сегмента $h$. Высота сегмента связана с радиусом шара и расстоянием $d$ от центра шара до основания сегмента (хорды в нашем сечении) как $h = R - d$. Расстояние $d$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $R$, половиной хорды $\frac{l}{2}$ и отрезком $d$. Угол в этом треугольнике при центре шара равен $\frac{\alpha}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

$d = R \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

Тогда высота сегмента:

$h = R - d = 4 - 2 = 2$ см.

Наконец, вычислим объем шарового сектора:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h = \frac{2}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 2 = \frac{2}{3}\pi \cdot 16 \cdot 2 = \frac{64\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{64\pi}{3}$ см³.

б)

Известно, что длина окружности основания шарового сектора $C = 18\pi$ см, а радиус шара $R = 15$ см. Объем шарового сектора вычисляется по той же формуле: $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$.

Сначала найдем радиус $r$ окружности основания сектора из формулы длины окружности $C = 2\pi r$:

$18\pi = 2\pi r$

$r = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ см.

Теперь найдем высоту шарового сегмента $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания $r$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости основания (катеты). По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

$d^2 = R^2 - r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$d = \sqrt{144} = 12$ см.

Высота шарового сегмента $h$ равна $h = R - d$ (предполагая, что сегмент меньше полушария):

$h = 15 - 12 = 3$ см.

Теперь вычислим объем шарового сектора:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h = \frac{2}{3}\pi \cdot 15^2 \cdot 3 = 2\pi \cdot 225 = 450\pi$ см³.

Ответ: $450\pi$ см³.