Номер 549, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

549. a)
Шар из алюминия имеет массу $93.6\pi$ г. Найдите радиус этого шара, если известно, что плотность алюминия равна $2.6 \text{ г}/\text{см}^3$.

б) Масса свинцового шара равна $0.5 \text{ кг}$. Найдите с точностью до $0.1 \text{ см}$ диаметр этого шара. (Плотность свинца равна $11.4 \text{ г}/\text{см}^3$.)

а)

Масса ($m$), плотность ($\rho$) и объем ($V$) связаны формулой $m = \rho \cdot V$. Сначала найдем объем алюминиевого шара, выразив его из этой формулы: $V = \frac{m}{\rho}$.
По условию, масса шара $m = 93,6\pi$ г, а плотность алюминия $\rho = 2,6$ г/см³.
Подставим эти значения в формулу:
$V = \frac{93,6\pi \text{ г}}{2,6 \text{ г/см³}} = 36\pi \text{ см³}$.
Объем шара также вычисляется по геометрической формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - это радиус шара.
Приравняем два выражения для объема, чтобы найти радиус:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\frac{4}{3}R^3 = 36$.
Теперь выразим $R^3$:
$R^3 = 36 \cdot \frac{3}{4} = 9 \cdot 3 = 27$.
Чтобы найти радиус, извлечем кубический корень из 27:
$R = \sqrt[3]{27} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

б)

Плотность свинца дана в г/см³, поэтому сначала переведем массу шара из килограммов в граммы:
$m = 0,5 \text{ кг} = 500 \text{ г}$.
Плотность свинца по условию $\rho = 11,4$ г/см³.
Найдем объем свинцового шара по формуле $V = \frac{m}{\rho}$:
$V = \frac{500}{11,4} \text{ см³}$.
Формула объема шара через его диаметр $d$ выглядит так: $V = \frac{1}{6}\pi d^3$. (Это следует из формулы $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ и того факта, что радиус $R = d/2$).
Приравняем выражения для объема, чтобы найти диаметр:
$\frac{1}{6}\pi d^3 = \frac{500}{11,4}$.
Выразим из этого уравнения $d^3$:
$d^3 = \frac{500 \cdot 6}{11,4 \cdot \pi} = \frac{3000}{11,4\pi}$.
Подставим примерное значение $\pi \approx 3,14159$ и произведем расчеты:
$d^3 \approx \frac{3000}{11,4 \cdot 3,14159} \approx \frac{3000}{35,8141} \approx 83,766 \text{ см³}$.
Теперь найдем диаметр, извлекая кубический корень:
$d = \sqrt[3]{83,766} \approx 4,376$ см.
По условию, результат нужно округлить с точностью до 0,1 см:
$d \approx 4,4$ см.
Ответ: 4,4 см.