Номер 554, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

554. В цилиндрическую мензурку с водой, наполненную до некоторого уровня, опущены 4 металлических шарика, радиус каждого из которых равен $5 \text{ мм}$. На сколько миллиметров поднялся уровень воды в мензурке, если диаметр ее основания равен $2,5 \text{ см}$? Ответ дайте с точностью до $0,1 \text{ мм}$.

Когда 4 металлических шарика опускают в мензурку, уровень воды поднимается. Объем вытесненной воды равен общему объему четырех шариков. Этот объем вытесненной воды имеет форму цилиндра с высотой $h$ (искомое изменение уровня воды) и площадью основания, равной площади основания мензурки.

1. Вычисление общего объема шариков
Сначала найдем объем одного шарика. Формула для объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Радиус каждого шарика по условию $r = 5$ мм.
$V_{одного~шарика} = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi$ мм³.
Так как в мензурку опустили 4 шарика, их общий объем равен:
$V_{общий} = 4 \cdot V_{одного~шарика} = 4 \cdot \frac{500}{3}\pi = \frac{2000}{3}\pi$ мм³.

2. Вычисление высоты подъема воды
Объем вытесненной воды в цилиндрической мензурке равен $V_{воды} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания мензурки, а $h$ — высота, на которую поднялся уровень воды.
Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания мензурки.
Диаметр основания мензурки $D = 2,5$ см. Переведем эту величину в миллиметры: $D = 25$ мм.
Тогда радиус основания $R = \frac{D}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$ мм.
Теперь приравняем общий объем шариков к объему вытесненной воды:
$V_{общий} = V_{воды}$
$\frac{2000}{3}\pi = \pi R^2 h$
$\frac{2000}{3}\pi = \pi (12,5)^2 h$
Сократим $\pi$ в обеих частях уравнения и выразим $h$:
$h = \frac{2000}{3 \cdot (12,5)^2} = \frac{2000}{3 \cdot 156,25} = \frac{2000}{468,75} \approx 4,2666...$ мм.

3. Округление результата
Согласно условию, ответ необходимо дать с точностью до 0,1 мм. Округляем полученное значение:
$h \approx 4,3$ мм.
Ответ: 4,3 мм.