Номер 561, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

561. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если:

а) стороны его основания равны 9 м и 16 м, а отношение длин диагоналей боковых граней равно 0,75;

б) периметр основания равен 72 дм, а диагонали боковых граней равны 25 дм и 29 дм.

а)

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ и $b$ – стороны основания, а $h$ – высота.

По условию, стороны основания равны $a = 9$ м и $b = 16$ м. Боковые грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками со сторонами $(a, h)$ и $(b, h)$. Пусть $d_1$ и $d_2$ – диагонали этих боковых граней. По теореме Пифагора:

$d_1^2 = a^2 + h^2 = 9^2 + h^2 = 81 + h^2$

$d_2^2 = b^2 + h^2 = 16^2 + h^2 = 256 + h^2$

По условию, отношение длин диагоналей равно 0,75, то есть $\frac{d_1}{d_2} = 0,75 = \frac{3}{4}$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$\frac{d_1^2}{d_2^2} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$

Подставим выражения для $d_1^2$ и $d_2^2$:

$\frac{81 + h^2}{256 + h^2} = \frac{9}{16}$

Решим это уравнение относительно $h$:

$16(81 + h^2) = 9(256 + h^2)$

$1296 + 16h^2 = 2304 + 9h^2$

$16h^2 - 9h^2 = 2304 - 1296$

$7h^2 = 1008$

$h^2 = \frac{1008}{7} = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ м.

Теперь мы можем найти объем параллелепипеда:

$V = a \cdot b \cdot h = 9 \cdot 16 \cdot 12 = 1728$ м³.

Ответ: $1728$ м³.

б)

Пусть стороны основания параллелепипеда равны $a$ и $b$, а высота равна $h$.

Периметр основания $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 72$ дм, следовательно:

$2(a+b) = 72 \implies a+b = 36$

Диагонали боковых граней равны $d_1 = 25$ дм и $d_2 = 29$ дм. Для боковых граней со сторонами $(a, h)$ и $(b, h)$ по теореме Пифагора имеем:

$d_1^2 = a^2 + h^2 \implies 25^2 = a^2 + h^2 \implies 625 = a^2 + h^2$

$d_2^2 = b^2 + h^2 \implies 29^2 = b^2 + h^2 \implies 841 = b^2 + h^2$

Получили систему из трех уравнений:

$\begin{cases} a + b = 36 \\ a^2 + h^2 = 625 \\ b^2 + h^2 = 841 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$(b^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 841 - 625$

$b^2 - a^2 = 216$

$(b-a)(b+a) = 216$

Так как из первого уравнения $a+b=36$, подставим это значение:

$(b-a) \cdot 36 = 216$

$b-a = \frac{216}{36} = 6$

Теперь решим систему линейных уравнений для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 36 \\ b - a = 6 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $2b = 42 \implies b = 21$ дм.

Тогда $a = 36 - b = 36 - 21 = 15$ дм.

Найдем высоту $h$ из второго уравнения системы:

$a^2 + h^2 = 625$

$15^2 + h^2 = 625$

$225 + h^2 = 625$

$h^2 = 625 - 225 = 400$

$h = \sqrt{400} = 20$ дм.

Наконец, вычислим объем параллелепипеда:

$V = a \cdot b \cdot h = 15 \cdot 21 \cdot 20 = 6300$ дм³.

Ответ: $6300$ дм³.