Номер 568, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

568. Плоскость, проходящая через центр нижнего основания цилиндра, наклонена к нему под углом $60^\circ$. Эта плоскость пересекает верхнее основание цилиндра по хорде, равной 10 см, стягивающей дугу $90^\circ$. Найдите объем цилиндра.

Для нахождения объема цилиндра используется формула $V = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра. Найдем $R$ и $H$ из условий задачи.

Нахождение радиуса основания R

По условию, секущая плоскость пересекает верхнее основание цилиндра по хорде, равной 10 см, которая стягивает дугу в 90°. Это означает, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен 90°. Рассмотрим треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, проведенными из центра верхнего основания к концам хорды. Этот треугольник является равнобедренным (две стороны равны радиусу $R$) и прямоугольным. Применив теорему Пифагора, получим:

$R^2 + R^2 = 10^2$

$2R^2 = 100$

$R^2 = 50 \text{ см}^2$.

Нахождение высоты цилиндра H

Секущая плоскость проходит через центр нижнего основания $O$ и наклонена к плоскости этого основания под углом 60°. Для нахождения высоты $H$ рассмотрим сечение, перпендикулярное хорде и проходящее через ее середину $M$.

Сначала найдем расстояние от центра верхнего основания $O'$ до середины хорды $M$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике, который мы рассматривали ранее, высота $O'M$ к основанию (хорде) является также и медианой. Длина половины хорды составляет $10 / 2 = 5$ см. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и отрезком $O'M$, по теореме Пифагора:

$O'M = \sqrt{R^2 - 5^2} = \sqrt{50 - 25} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OPM$, где $P$ – проекция точки $M$ на плоскость нижнего основания. Катет $MP$ равен высоте цилиндра $H$. Катет $OP$ равен расстоянию от центра нижнего основания до проекции середины хорды на это основание, то есть $OP = O'M = 5$ см. Угол наклона секущей плоскости к плоскости основания является двугранным углом, линейный угол которого в данном сечении равен $\angle MOP$. По условию, $\angle MOP = 60°$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OPM$ (угол $\angle OPM = 90°$) находим высоту $H$:

$\tan(\angle MOP) = \frac{MP}{OP} = \frac{H}{5}$

$\tan(60°) = \frac{H}{5}$

$H = 5 \cdot \tan(60°) = 5\sqrt{3}$ см.

Нахождение объема цилиндра

Теперь, зная $R^2 = 50$ и $H = 5\sqrt{3}$, мы можем вычислить объем цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 50 \cdot 5\sqrt{3} = 250\pi\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $250\pi\sqrt{3} \text{ см}^3$.