Номер 575, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

575. В прямой призме $ABC A_1 B_1 C_1$, $AB = 10$ см, $BC = 24$ см, $AC = 26$ см, а площадь $\Delta AB_1 C_1$ равна $180 \text{ см}^2$. Найдите объем пирамиды $B_1 A_1 ACC_1$.

1. Сначала проанализируем основание призмы — треугольник $ABC$. Даны длины его сторон: $AB = 10$ см, $BC = 24$ см, $AC = 26$ см. Проверим, выполняется ли для них теорема Пифагора:

$AB^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$ см$^2$.

$AC^2 = 26^2 = 676$ см$^2$.

Поскольку $AB^2 + BC^2 = AC^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). Площадь основания призмы равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ см$^2$.

2. Теперь найдем высоту призмы $h$. Призма $ABCA_1B_1C_1$ прямая, это значит, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, и $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$.

Рассмотрим треугольник $AB_1C_1$. Известно, что его площадь $S_{\triangle AB_1C_1} = 180$ см$^2$. В прямой призме боковая грань $ABB_1A_1$ перпендикулярна основанию $A_1B_1C_1$. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна $A_1B_1$ (так как $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольный). Следовательно, $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости грани $ABB_1A_1$. Отсюда следует, что $B_1C_1$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AB_1$. Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

Площадь прямоугольного треугольника $AB_1C_1$ равна половине произведения его катетов $AB_1$ и $B_1C_1$. Длина катета $B_1C_1$ равна длине соответствующей стороны основания $BC$, то есть $B_1C_1 = 24$ см.

$S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot B_1C_1$

$180 = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot 24$

$180 = 12 \cdot AB_1$

$AB_1 = \frac{180}{12} = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (угол $B$ прямой, так как призма прямая). По теореме Пифагора найдем высоту призмы $h = BB_1$:

$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$

$15^2 = 10^2 + h^2$

$225 = 100 + h^2$

$h^2 = 125 \implies h = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ см.

3. Найдем объем пирамиды $B_1A_1ACC_1$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

В качестве основания пирамиды выберем боковую грань призмы — прямоугольник $ACC_1A_1$. Вершиной пирамиды будет точка $B_1$.

Площадь основания пирамиды (прямоугольника $ACC_1A_1$) равна:

$S_{ACC_1A_1} = AC \cdot CC_1 = 26 \cdot h = 26 \cdot 5\sqrt{5} = 130\sqrt{5}$ см$^2$.

Высотой пирамиды $H$ является перпендикуляр, опущенный из вершины $B_1$ на плоскость основания $ACC_1A_1$. Так как призма прямая, плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$ перпендикулярна плоскости боковой грани $ACC_1A_1$. Следовательно, искомая высота $H$ будет равна высоте треугольника $A_1B_1C_1$, проведенной из вершины $B_1$ к стороне $A_1C_1$. Обозначим эту высоту $h_{B_1}$.

Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна площади $ABC$ и составляет $120$ см$^2$. Эту же площадь можно выразить через гипотенузу $A_1C_1 = 26$ см и высоту $h_{B_1}$:

$S_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot h_{B_1}$

$120 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot h_{B_1}$

$120 = 13 \cdot h_{B_1}$

$H = h_{B_1} = \frac{120}{13}$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ACC_1A_1} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 130\sqrt{5} \cdot \frac{120}{13}$

$V = \frac{130 \cdot 120 \cdot \sqrt{5}}{3 \cdot 13} = \frac{10 \cdot 120 \cdot \sqrt{5}}{3} = 10 \cdot 40 \cdot \sqrt{5} = 400\sqrt{5}$ см$^3$.

Ответ: $400\sqrt{5}$ см$^3$.