Номер 571, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

571. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC = b$, $\angle A = \alpha$. Боковая грань $BB_1C_1C$ призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота призмы.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC = b$ и $\angle A = \alpha$. Площадь основания найдем по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}b^2\sin(\alpha)$.

Призма является прямой, поэтому ее высота $h$ равна длине бокового ребра, например, $BB_1$. По условию, боковая грань $BB_1C_1C$ является квадратом, из чего следует, что все ее стороны равны: $BB_1 = BC$. Таким образом, высота призмы $h$ равна длине стороны $BC$ основания.

Для нахождения длины стороны $BC$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$ $BC^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos(\alpha) = 2b^2 - 2b^2\cos(\alpha) = 2b^2(1 - \cos(\alpha))$.

Применим тригонометрическую формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$: $BC^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Отсюда находим длину $BC$: $BC = \sqrt{4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2b\sin(\frac{\alpha}{2})$. Следовательно, высота призмы $h = 2b\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем вычислить объем призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты: $V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{1}{2}b^2\sin(\alpha)\right) \cdot \left(2b\sin(\frac{\alpha}{2})\right) = b^3\sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})$. Это выражение можно также записать в другом виде, используя формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$: $V = b^3 \left(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})\right) \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2b^3\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $b^3\sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})$ или $2b^3\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.