Номер 574, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

574. Цистерна вместимостью $50 \text{ м}^3$ имеет форму тела, состоящего из цилиндра и двух равных шаровых сегментов. Найдите с точностью до 0,01 м длину образующей цилиндра, если диаметр его основания равен 3 м, а высота сегмента 0,57 м.

Рисунок 186

Общий объем цистерны $V$ складывается из объема ее цилиндрической части $V_{цил}$ и объемов двух одинаковых шаровых сегментов $V_{сегм}$, которые примыкают к ее основаниям.
Таким образом, $V = V_{цил} + 2V_{сегм}$.
Согласно условию задачи, общий объем $V = 50 \text{ м}^3$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 L$, где $r$ – радиус основания, а $L$ – длина образующей (высота) цилиндра, которую необходимо найти.
Диаметр основания цилиндра равен $d = 3 \text{ м}$, следовательно, радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1,5 \text{ м}$.
Подставив значение радиуса, получаем: $V_{цил} = \pi \cdot (1,5)^2 \cdot L = 2,25\pi L$.

Объем шарового сегмента можно найти по формуле $V_{сегм} = \frac{1}{6}\pi h(3r^2 + h^2)$, где $h$ – высота сегмента, а $r$ – радиус его основания.
По условию, высота сегмента $h = 0,57 \text{ м}$, а радиус его основания совпадает с радиусом основания цилиндра, то есть $r = 1,5 \text{ м}$.
Найдем суммарный объем двух шаровых сегментов:
$2V_{сегм} = 2 \cdot \frac{1}{6}\pi h(3r^2 + h^2) = \frac{1}{3}\pi h(3r^2 + h^2)$.
Подставим числовые значения:
$2V_{сегм} = \frac{1}{3}\pi \cdot 0,57 \cdot (3 \cdot (1,5)^2 + (0,57)^2) = 0,19\pi \cdot (3 \cdot 2,25 + 0,3249) = 0,19\pi \cdot (6,75 + 0,3249) = 0,19\pi \cdot 7,0749 = 1,344231\pi \text{ м}^3$.

Теперь мы можем подставить все известные величины в формулу для общего объема:
$50 = 2,25\pi L + 1,344231\pi$.
Выразим из этого уравнения искомую длину образующей $L$:
$2,25\pi L = 50 - 1,344231\pi$
$L = \frac{50 - 1,344231\pi}{2,25\pi} = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{1,344231\pi}{2,25\pi} = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{1,344231}{2,25}$.

Произведем вычисления, приняв значение $\pi \approx 3,14159$:
$L \approx \frac{50}{2,25 \cdot 3,14159} - \frac{1,344231}{2,25} \approx \frac{50}{7,06858} - 0,597436 \approx 7,07355 - 0,597436 \approx 6,47611 \text{ м}$.

Согласно условию, результат необходимо округлить с точностью до 0,01 м:
$L \approx 6,48 \text{ м}$.

Ответ: 6,48 м.