Номер 579, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

579. Диагональ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна 3,5 м, а диагональ его боковой грани равна 2,5 м. Тогда объем этого параллелепипеда равен:

1) $ 4 \text{м}^3 $;

2) $ 6 \text{м}^3 $;

3) $ 3,5 \text{м}^3 $;

4) $ 2,5 \text{м}^3 $;

5) $ 3 \text{м}^3 $.

Пусть сторона квадратного основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$, а его высота равна $h$.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда ($D$) равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты). Так как в основании лежит квадрат, длина и ширина равны $a$. Формула для квадрата диагонали: $D^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$.

Из условия задачи известно, что диагональ параллелепипеда $D = 3,5$ м. Подставим это значение в формулу: $3,5^2 = 2a^2 + h^2$
$12,25 = 2a^2 + h^2$ (1)

Боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Квадрат её диагонали ($d$) по теореме Пифагора равен: $d^2 = a^2 + h^2$.

По условию, диагональ боковой грани $d = 2,5$ м. Подставим это значение: $2,5^2 = a^2 + h^2$
$6,25 = a^2 + h^2$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} 2a^2 + h^2 = 12,25 \\ a^2 + h^2 = 6,25 \end{cases} $

Чтобы найти $a^2$, вычтем второе уравнение из первого:
$(2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 12,25 - 6,25$
$a^2 = 6$ (м²).

Теперь подставим найденное значение $a^2 = 6$ во второе уравнение, чтобы найти высоту $h$:
$6 + h^2 = 6,25$
$h^2 = 6,25 - 6$
$h^2 = 0,25$
$h = \sqrt{0,25} = 0,5$ (м).

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению площади основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot h$.

Подставим вычисленные значения $a^2$ и $h$:
$V = 6 \cdot 0,5 = 3$ (м³).

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 5.
Ответ: 3 м³.