Номер 583, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

583. Высота прямой четырехугольной призмы равна 4 см, а ее диагонали наклонены к основанию под углами $30^\circ$ и $45^\circ$. Острый угол между диа- гоналями основания равен $60^\circ$. Объем призмы равен:

1) $48 \text{ см}^3$; 4) $64 \text{ см}^3$;

2) $36 \text{ см}^3$; 5) $24\sqrt{3} \text{ см}^3$.

3) $24 \text{ см}^3$;

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. По условию, высота призмы $h = 4$ см.

Площадь основания (в данном случае, произвольного четырехугольника) можно найти, зная длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$ и угол $\gamma$ между ними, по формуле: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\gamma$.

По условию, острый угол между диагоналями основания $\gamma = 60^\circ$.

Чтобы найти длины диагоналей основания $d_1$ и $d_2$, рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой призмы $h$, диагональю призмы и ее проекцией на основание (которая является диагональю основания). Угол наклона диагонали призмы к основанию — это угол между диагональю призмы и соответствующей диагональю основания.

Для первой диагонали основания $d_1$, соответствующая диагональ призмы наклонена к основанию под углом $30^\circ$. Из прямоугольного треугольника получаем соотношение:

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{d_1}$

Отсюда находим $d_1$:

$d_1 = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Для второй диагонали основания $d_2$, соответствующая диагональ призмы наклонена к основанию под углом $45^\circ$. Аналогично получаем:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{d_2}$

Отсюда находим $d_2$:

$d_2 = \frac{h}{\tan(45^\circ)} = \frac{4}{1} = 4$ см.

Теперь, зная длины обеих диагоналей основания и угол между ними, можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{4} = \frac{16 \cdot 3}{4} = 12$ см².

Наконец, вычисляем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 12 \text{ см}² \cdot 4 \text{ см} = 48$ см³.

Этот результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 48 см³.