Номер 587, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

587. Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны $15^\circ$ и $75^\circ$, а радиус описанной около него окружности равен 3 м.

Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом $45^\circ$. Тогда объем этой пирамиды равен:

1) $9 \text{ м}^3$;

2) $10 \text{ м}^3$;

3) $5 \text{ м}^3$;

4) $4,5 \text{ м}^3$;

5) $3\sqrt{3} \text{ м}^3$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды. Решим задачу по шагам.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

В основании пирамиды лежит треугольник, два угла которого равны $15^\circ$ и $75^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол равен:

$\gamma = 180^\circ - (15^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Следовательно, основанием является прямоугольный треугольник.

Площадь треугольника можно найти, зная его углы и радиус описанной около него окружности ($R = 3$ м), по формуле:

$S_{осн} = 2R^2 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = 2 \cdot 3^2 \cdot \sin 15^\circ \cdot \sin 75^\circ \cdot \sin 90^\circ$

Используя тождества $\sin 90^\circ = 1$ и $\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ$, получаем:

$S_{осн} = 18 \cdot \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$:

$S_{осн} = 9 \cdot (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = 9 \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ) = 9 \cdot \sin 30^\circ$

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, площадь основания равна:

$S_{осн} = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4,5$ м².

2. Нахождение высоты пирамиды ($h$)

По условию, боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Высота пирамиды $h$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией на основание (радиусом $R$) равен $45^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике катетами являются высота $h$ и радиус $R$. Тангенс угла наклона равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{R}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $h = R$. Так как $R = 3$ м, то и высота пирамиды $h = 3$ м.

3. Вычисление объема пирамиды ($V$)

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \cdot 3 = 4,5$ м³.

Таким образом, объем пирамиды равен $4,5$ м³, что соответствует варианту ответа 4).

Ответ: 4) 4,5 м³.