Страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

586. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 дм, а двугранный угол между основанием и боковой гранью равен 45°.

Объем пирамиды равен:

1) $8 \text{ дм}^3$;

2) $10 \text{ дм}^3$;

3) $6 \text{ дм}^3$;

4) $4\sqrt{2} \text{ дм}^3$;

5) $6\sqrt{2} \text{ дм}^3$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Найдем площадь основания

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ дм. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь всего основания равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставив значение стороны $a = 2$ дм, получаем:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ дм².

Найдем высоту пирамиды

Двугранный угол между основанием и боковой гранью, равный $45^\circ$, представляет собой угол между апофемой боковой грани (высотой боковой грани, опущенной на сторону основания) и апофемой основания (радиусом вписанной в основание окружности), проведенными к одной и той же стороне основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а угол между апофемой основания и апофемой боковой грани равен $45^\circ$.

Апофема $r$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем $a = 2$ дм:

$r = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

В рассматриваемом прямоугольном треугольнике тангенс угла в $45^\circ$ равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (апофеме основания $r$):

$\text{tg}(45^\circ) = \frac{H}{r}$.

Поскольку $\text{tg}(45^\circ) = 1$, то $H = r$.

Таким образом, высота пирамиды $H = \sqrt{3}$ дм.

Вычислим объем пирамиды

Теперь мы можем подставить найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 3 = 6$ дм³.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 6 дм³.

587. Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны $15^\circ$ и $75^\circ$, а радиус описанной около него окружности равен 3 м.

Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом $45^\circ$. Тогда объем этой пирамиды равен:

1) $9 \text{ м}^3$;

2) $10 \text{ м}^3$;

3) $5 \text{ м}^3$;

4) $4,5 \text{ м}^3$;

5) $3\sqrt{3} \text{ м}^3$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды. Решим задачу по шагам.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

В основании пирамиды лежит треугольник, два угла которого равны $15^\circ$ и $75^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол равен:

$\gamma = 180^\circ - (15^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Следовательно, основанием является прямоугольный треугольник.

Площадь треугольника можно найти, зная его углы и радиус описанной около него окружности ($R = 3$ м), по формуле:

$S_{осн} = 2R^2 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = 2 \cdot 3^2 \cdot \sin 15^\circ \cdot \sin 75^\circ \cdot \sin 90^\circ$

Используя тождества $\sin 90^\circ = 1$ и $\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ$, получаем:

$S_{осн} = 18 \cdot \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$:

$S_{осн} = 9 \cdot (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = 9 \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ) = 9 \cdot \sin 30^\circ$

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, площадь основания равна:

$S_{осн} = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4,5$ м².

2. Нахождение высоты пирамиды ($h$)

По условию, боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Высота пирамиды $h$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией на основание (радиусом $R$) равен $45^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике катетами являются высота $h$ и радиус $R$. Тангенс угла наклона равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{R}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $h = R$. Так как $R = 3$ м, то и высота пирамиды $h = 3$ м.

3. Вычисление объема пирамиды ($V$)

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \cdot 3 = 4,5$ м³.

Таким образом, объем пирамиды равен $4,5$ м³, что соответствует варианту ответа 4).

Ответ: 4) 4,5 м³.

588. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 12 см и 10 см, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $45^\circ$. Объем этой пирамиды равен:

1) $121\frac{1}{3} \text{ см}^3$;

2) $91 \text{ см}^3$;

3) $60\frac{2}{3} \text{ см}^3$;

4) $45,5 \text{ см}^3$;

5) $30\frac{1}{3} \text{ см}^3$.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ – высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади нижнего и верхнего оснований соответственно.

Основаниями данной пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Найдем площадь нижнего основания со стороной $a_1 = 12$ см:

$S_1 = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Найдем площадь верхнего основания со стороной $a_2 = 10$ см:

$S_2 = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см².

Далее найдем высоту пирамиды $H$. Двугранный угол при ребре нижнего основания в $45°$ – это угол между боковой гранью и плоскостью нижнего основания. Этот угол можно найти в сечении, перпендикулярном ребру основания, которое содержит апофему боковой грани. Рассмотрим трапецию, образованную высотой пирамиды $H$, апофемами оснований (радиусами вписанных окружностей $r_1$ и $r_2$) и апофемой боковой грани.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Радиус для нижнего основания: $r_1 = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус для верхнего основания: $r_2 = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Высота $H$ связана с радиусами и двугранным углом $\alpha = 45°$ через соотношение в прямоугольном треугольнике: $\tan(\alpha) = \frac{H}{r_1 - r_2}$.

Поскольку $\tan(45°) = 1$, то высота $H$ равна разности радиусов:

$H = r_1 - r_2 = 2\sqrt{3} - \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем усеченной пирамиды. Сначала найдем среднее геометрическое площадей оснований:

$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{36\sqrt{3} \cdot 25\sqrt{3}} = \sqrt{36 \cdot 25 \cdot (\sqrt{3})^2} = \sqrt{900 \cdot 3} = 30\sqrt{3}$ см².

Подставим все найденные значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (36\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 30\sqrt{3})$.

$V = \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot (91\sqrt{3}) = \frac{91 \cdot (\sqrt{3})^2}{9} = \frac{91 \cdot 3}{9} = \frac{91}{3}$ см³.

Переводя в смешанную дробь, получаем:

$V = 30\frac{1}{3}$ см³.

Ответ: $30\frac{1}{3}$ см³.

589. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны $5\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$, а ее боковое ребро наклонено к основанию под углом $60^\circ$. Тогда объем этой пирамиды равен:

1) $78\sqrt{3}$;

2) $58\sqrt{3} + 50\sqrt{6}$;

3) $234\sqrt{3}$;

4) $\frac{78\sqrt{3}}{3}$;

5) $80\sqrt{3}$.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $H$ – высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади ее оснований.

1. Найдем площади оснований.

Основаниями правильной четырехугольной усеченной пирамиды являются квадраты. Площадь большего основания со стороной $a_1 = 5\sqrt{2}$ равна:

$$S_1 = a_1^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$$

Площадь меньшего основания со стороной $a_2 = 2\sqrt{2}$ равна:

$$S_2 = a_2^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$$

2. Найдем высоту пирамиды H.

Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, боковым ребром и его проекцией на плоскость большего основания. Угол между боковым ребром и его проекцией (угол наклона к основанию) по условию равен $60^\circ$.

Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания равна разности полудиагоналей оснований.

Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Диагональ большего основания: $d_1 = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10$.

Диагональ меньшего основания: $d_2 = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4$.

Длина проекции бокового ребра, обозначим ее $p$, равна:

$$p = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$$

В указанном прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$, а проекция $p$ – прилежащим катетом. Таким образом, их соотношение выражается через тангенс угла:

$$\tan(60^\circ) = \frac{H}{p}$$

Отсюда находим высоту:

$$H = p \cdot \tan(60^\circ) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставляем найденные значения $S_1=50$, $S_2=8$ и $H=3\sqrt{3}$ в формулу объема:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot (50 + 8 + \sqrt{50 \cdot 8})$$

Упрощаем выражение:

$$V = \sqrt{3} \cdot (58 + \sqrt{400})$$

$$V = \sqrt{3} \cdot (58 + 20)$$

$$V = 78\sqrt{3}$$

Полученный результат совпадает с вариантом ответа 1).

Ответ: $78\sqrt{3}$

590. Объем цилиндра равен 36 $\text{см}^3$, его высоту увеличили в 3 раза, а радиус основания уменьшили в 3 раза. Объем нового цилиндра равен:

1) 36 $\text{см}^3$;

2) 24 $\text{см}^3$;

3) 12 $\text{см}^3$;

4) 18 $\text{см}^3$;

5) 6 $\text{см}^3$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ – это радиус основания, а $h$ – высота цилиндра.

Пусть $V_1$, $r_1$ и $h_1$ – это объем, радиус и высота исходного цилиндра соответственно. Согласно условию, $V_1 = 36$ см³. Таким образом, у нас есть равенство:

$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 36$

Теперь рассмотрим параметры нового цилиндра. Обозначим их как $V_2$, $r_2$ и $h_2$. По условию, его высота была увеличена в 3 раза, а радиус основания уменьшен в 3 раза. Это можно записать следующим образом:

$h_2 = 3h_1$

$r_2 = \frac{r_1}{3}$

Теперь вычислим объем нового цилиндра $V_2$, подставив новые значения радиуса и высоты в формулу объема:

$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi \left(\frac{r_1}{3}\right)^2 (3h_1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$V_2 = \pi \left(\frac{r_1^2}{9}\right) (3h_1) = \frac{3}{9} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} (\pi r_1^2 h_1)$

Мы знаем, что выражение в скобках $\pi r_1^2 h_1$ равно объему исходного цилиндра $V_1$, то есть 36 см³. Подставим это значение:

$V_2 = \frac{1}{3} V_1 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$ см³

Объем нового цилиндра равен 12 см³.

Ответ: 3) 12 см³.