Страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

612. Верно ли, что середина отрезка с концами:

a) $A(3; 5; -7)$ и $B(-3; 9; 7)$ принадлежит оси ординат;

б) $C(3; 4; 5)$ и $D(10; 12; -5)$ принадлежит плоскости $Oxy$?

а)Чтобы найти координаты середины отрезка, нужно найти среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть M — середина отрезка AB с концами в точках $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$. Координаты точки M $(x_M; y_M; z_M)$ вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$
$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$
Для точек $A(3; 5; -7)$ и $B(-3; 9; 7)$ найдем координаты их середины:
$x_M = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_M = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$z_M = \frac{-7 + 7}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Координаты середины отрезка — точка $M(0; 7; 0)$.
Точка принадлежит оси ординат (оси Oy), если ее абсцисса (координата x) и аппликата (координата z) равны нулю. Так как у точки M $x=0$ и $z=0$, она принадлежит оси ординат. Утверждение верно.
Ответ: да.

б)Аналогично найдем координаты середины отрезка CD, обозначим ее точкой N, для точек $C(3; 4; 5)$ и $D(10; 12; -5)$:
$x_N = \frac{3 + 10}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$
$y_N = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$z_N = \frac{5 + (-5)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Координаты середины отрезка — точка $N(6.5; 8; 0)$.
Точка принадлежит плоскости Oxy, если ее аппликата (координата z) равна нулю. Так как у точки N $z=0$, она принадлежит плоскости Oxy. Утверждение верно.
Ответ: да.

613. Верно ли, что если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, то точки $A, B, C$ лежат:

а) на одной прямой;

б) на параллельных прямых?

а) на одной прямой

По определению, два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ имеют общее начало в точке A.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ лежит на прямой, проходящей через точки A и B. Обозначим эту прямую как l₁.

Вектор $\overrightarrow{AC}$ лежит на прямой, проходящей через точки A и C. Обозначим эту прямую как l₂.

Поскольку векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны, прямые l₁ и l₂ должны быть либо параллельны, либо совпадать.

Обе прямые, l₁ и l₂, проходят через общую точку A. Если две параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают. Следовательно, прямая l₁ совпадает с прямой l₂. Это означает, что все три точки — A, B и C — лежат на одной и той же прямой.

Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

б) на параллельных прямых

Как было доказано в пункте а), из-за наличия общей точки A точки A, B и C всегда лежат на одной прямой. Они не могут располагаться на разных параллельных прямых.

Предположим, что точки A и B лежат на прямой l₁, а точка C лежит на другой прямой l₂, причем $l_1 \parallel l_2$ и $l_1 \ne l_2$. Вектор $\overrightarrow{AC}$ определяется точками A и C, следовательно, он должен лежать на прямой, проходящей через A и C. Этой прямой является l₂ (или прямая, параллельная ей). Значит, точка A должна принадлежать прямой l₂. Но точка A также принадлежит прямой l₁. Таким образом, точка A является общей точкой для двух различных параллельных прямых l₁ и l₂, что противоречит определению параллельных прямых (они не пересекаются).

Следовательно, точки A, B и C не могут лежать на разных параллельных прямых. Они могут лежать только на одной прямой. Хотя одна прямая формально параллельна самой себе, в контексте противопоставления с пунктом а), вопрос подразумевает возможность расположения точек на нескольких различных параллельных прямых. Эта возможность исключена.

Ответ: Нет, неверно.

614. Найдите все значения m, при которых векторы $\vec{a}(m; 4; 2)$ и $\vec{b}(m+2; 6; 3)$:

а) коллинеарны;

б) компланарны;

в) перпендикулярны.

а) коллинеарны
Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов $\vec{a}(m; 4; 2)$ и $\vec{b}(m+2; 6; 3)$ условие коллинеарности можно записать в виде пропорции:
$\frac{m}{m+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Равенство $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ является верным. Теперь решим уравнение, приравняв первую дробь к остальным:
$\frac{m}{m+2} = \frac{2}{3}$
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$3 \cdot m = 2 \cdot (m+2)$
$3m = 2m + 4$
$3m - 2m = 4$
$m = 4$
Ответ: $m=4$.

б) компланарны
Любые два вектора в трехмерном пространстве всегда являются компланарными. Это означает, что всегда можно найти плоскость, в которой лежат оба вектора. Если векторы не коллинеарны, они сами определяют такую плоскость. Если они коллинеарны, они лежат на одной прямой, а через любую прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Так как заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ существуют при любом действительном значении $m$, они будут компланарны для любого $m$.
Ответ: при любом значении $m$.

в) перпендикулярны
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
Для наших векторов $\vec{a}(m; 4; 2)$ и $\vec{b}(m+2; 6; 3)$ условие перпендикулярности выглядит так:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = m \cdot (m+2) + 4 \cdot 6 + 2 \cdot 3 = 0$
Решим полученное уравнение:
$m^2 + 2m + 24 + 6 = 0$
$m^2 + 2m + 30 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 4 - 120 = -116$
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $m$, при котором скалярное произведение векторов было бы равно нулю.
Ответ: таких значений $m$ не существует.

615. Долина Киин-Кериш напоминает марсианские пейзажи. Сколько гектаров занимает эта долина, если их количество равно числу, выражающему площадь поверхности куба, ребро которого равно $5\sqrt{2}$ дм?

Долина Киин-Кериш, Восточно-Казахстанская область

Чтобы найти, сколько гектаров занимает долина, нам нужно сначала вычислить площадь поверхности куба.

Площадь полной поверхности куба ($S$) вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ – длина ребра куба.

По условию, ребро куба $a = 5\sqrt{2}$ дм.

Найдем площадь одной грани куба, которая является квадратом со стороной $a$:

$S_{грани} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \times (\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$ дм².

Теперь найдем площадь всей поверхности куба, умножив площадь одной грани на 6:

$S_{куба} = 6 \times S_{грани} = 6 \times 50 = 300$ дм².

В задаче сказано, что количество гектаров, которое занимает долина, равно числу, выражающему площадь поверхности куба. Это число равно 300.

Следовательно, долина занимает 300 гектаров.

Ответ: 300 гектаров.

Долина Киин-Кериш,

Восточно-Казахстанская область

616. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда длиной 0,5 м и шириной 37 см. Найдите его высоту, если вместимость аквариума $0.074 м^3$.

Для нахождения высоты аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, воспользуемся формулой для вычисления его объема (вместимости):
$V = l \cdot w \cdot h$, где $V$ – объем, $l$ – длина, $w$ – ширина, $h$ – высота.
Из условия задачи нам известны следующие величины:
Длина $l = 0,5$ м.
Ширина $w = 37$ см.
Вместимость $V = 0,074$ м³.
Для правильного расчета необходимо, чтобы все линейные размеры были выражены в одних и тех же единицах. Поскольку объем дан в кубических метрах (м³), переведем ширину из сантиметров (см) в метры (м). В одном метре 100 сантиметров, поэтому:
$w = 37 \text{ см} = \frac{37}{100} \text{ м} = 0,37 \text{ м}$.
Теперь выразим высоту $h$ из формулы объема:
$h = \frac{V}{l \cdot w}$.
Подставим известные значения в эту формулу и выполним вычисления:
Сначала найдем площадь дна аквариума: $l \cdot w = 0,5 \text{ м} \cdot 0,37 \text{ м} = 0,185 \text{ м²}$.
Затем разделим объем на площадь дна, чтобы найти высоту:
$h = \frac{0,074 \text{ м³}}{0,185 \text{ м²}} = 0,4 \text{ м}$.
При необходимости можно перевести результат в сантиметры: $0,4 \text{ м} = 40 \text{ см}$.
Ответ: 0,4 м.

617. Высота конуса равна половине образующей, а радиус его основания равен $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности этого конуса.

Обозначим высоту конуса как $H$, радиус его основания как $R$, а образующую как $L$.

Согласно условию задачи, нам дано:

1. Высота конуса равна половине образующей: $H = \frac{L}{2}$.

2. Радиус основания: $R = 2\sqrt{3}$ см.

В конусе высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая $L$ является гипотенузой, а высота $H$ и радиус $R$ — катетами. По теореме Пифагора имеем соотношение: $L^2 = H^2 + R^2$.

Подставим в это уравнение известные нам данные. Заменим $H$ на $\frac{L}{2}$ и $R$ на $2\sqrt{3}$:

$L^2 = (\frac{L}{2})^2 + (2\sqrt{3})^2$

Упростим уравнение:

$L^2 = \frac{L^2}{4} + 4 \cdot 3$

$L^2 = \frac{L^2}{4} + 12$

Теперь решим это уравнение относительно $L$:

$L^2 - \frac{L^2}{4} = 12$

$\frac{4L^2 - L^2}{4} = 12$

$\frac{3L^2}{4} = 12$

$3L^2 = 12 \cdot 4$

$3L^2 = 48$

$L^2 = 16$

Поскольку длина образующей — положительная величина, $L = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$). Она равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Формулы для площадей:

$S_{осн} = \pi R^2$

$S_{бок} = \pi R L$

Таким образом, формула для полной поверхности: $S_{полн} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R + L)$.

Подставим значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $L = 4$ см:

$S_{полн} = \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3} + 4)$

Раскроем скобки:

$S_{полн} = \pi \cdot (2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot 4)$

$S_{полн} = \pi \cdot (4 \cdot 3 + 8\sqrt{3})$

$S_{полн} = \pi \cdot (12 + 8\sqrt{3})$

$S_{полн} = (12 + 8\sqrt{3})\pi$ см².

Ответ: $(12 + 8\sqrt{3})\pi$ см².

618. В шар вписан конус, радиус основания которого равен $r$, а высота $h$.
Найдите радиус $R$ шара.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него конуса. Сечением шара является большая окружность радиуса $R$, а сечением конуса — равнобедренный треугольник, вписанный в эту окружность. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$, а половина его основания равна радиусу основания конуса $r$.

Пусть $O$ — центр шара, который также является центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника. Центр $O$ лежит на оси конуса, которая является высотой треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:
1. Радиусом шара $R$ (гипотенуза), проведенным из центра шара к одной из вершин основания равнобедренного треугольника (т.е. к точке на окружности основания конуса).
2. Радиусом основания конуса $r$ (один катет).
3. Отрезком на оси конуса, соединяющим центр шара $O$ с центром основания конуса (второй катет).

Длина второго катета равна расстоянию от центра шара до основания конуса. Это расстояние можно выразить через высоту конуса $h$ и радиус шара $R$. Вершина конуса находится на расстоянии $R$ от центра шара $O$. Высота конуса $h$ откладывается от этой вершины вдоль оси. Таким образом, расстояние от центра шара $O$ до центра основания конуса равно $|h - R|$.

Применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$R^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях уравнения:
$0 = r^2 + h^2 - 2hR$

Перенесем член, содержащий $R$, в левую часть:
$2hR = r^2 + h^2$

Теперь выразим радиус шара $R$:
$R = \frac{r^2 + h^2}{2h}$

Ответ: $R = \frac{r^2 + h^2}{2h}$

619. Сравните объем шара радиуса 1 дм с объемом правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно 2 дм.

Для того чтобы сравнить объемы, необходимо сначала вычислить объем шара и объем правильной треугольной призмы.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - радиус шара. По условию задачи радиус шара $R = 1$ дм. Подставив это значение в формулу, получаем:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{4}{3}\pi$ дм³.

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot h$. В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник. По условию, каждое ребро призмы равно 2 дм, следовательно, сторона основания $a = 2$ дм, и высота призмы $h = 2$ дм. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Найдем площадь основания:
$S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ дм².
Теперь можем найти объем призмы:
$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$ дм³.

Теперь сравним полученные объемы: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi$ и $V_{призмы} = 2\sqrt{3}$.
Сравним числа $\frac{4}{3}\pi$ и $2\sqrt{3}$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты.
$(\frac{4}{3}\pi)^2 = \frac{16\pi^2}{9}$
$(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$
Сравним $\frac{16\pi^2}{9}$ и $12$. Это эквивалентно сравнению $16\pi^2$ и $12 \cdot 9 = 108$, или сравнению $\pi^2$ и $\frac{108}{16} = \frac{27}{4} = 6,75$.
Так как значение числа $\pi \approx 3,14$, то $\pi^2 \approx 3,14^2 \approx 9,86$.
Поскольку $9,86 > 6,75$, то $\pi^2 > \frac{27}{4}$.
Следовательно, $(\frac{4}{3}\pi)^2 > (2\sqrt{3})^2$, и $\frac{4}{3}\pi > 2\sqrt{3}$.
Таким образом, объем шара больше объема призмы.
Ответ: объем шара больше объема правильной треугольной призмы.

620. Найдите объем шарового сегмента, площадь поверхности которого равна $\pi \text{ дм}^2$, а радиус шара равен 1 дм.

По условию задачи, радиус шара $R = 1$ дм, а площадь поверхности шарового сегмента $S = \pi$ дм².

Площадь поверхности шарового сегмента (его сферической части, или шапочки) вычисляется по формуле:$S = 2 \pi R h$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти высоту сегмента $h$:
$\pi = 2 \pi \cdot 1 \cdot h$
Разделим обе части уравнения на $2\pi$:
$h = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} = 0.5$ дм.

Теперь, зная высоту сегмента, мы можем найти его объем. Формула для объема шарового сегмента:$V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$

Подставим значения $R=1$ дм и $h=0.5$ дм в формулу для объема:
$V = \pi \cdot (0.5)^2 \cdot (1 - \frac{0.5}{3})$
$V = \pi \cdot 0.25 \cdot (1 - \frac{1/2}{3})$
$V = \frac{\pi}{4} \cdot (1 - \frac{1}{6})$
$V = \frac{\pi}{4} \cdot (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$
$V = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{5}{6}$
$V = \frac{5\pi}{24}$ дм³

Ответ: $\frac{5\pi}{24}$ дм³

621. Дана трапеция ABCD, точки M и N – середины ее оснований AB и CD. Докажите, что $\vec{XM} - \vec{XN} = 0,5(\vec{DA} + \vec{CB})$, где X – произвольная точка пространства.

Поскольку точки $M$ и $N$ являются серединами отрезков $AB$ и $CD$ соответственно, для любой точки пространства $X$ радиус-векторы точек $M$ и $N$ можно выразить через радиус-векторы концов этих отрезков.
Для точки $M$, середины отрезка $AB$, справедливо равенство:
$\vec{XM} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XB})$
Аналогично для точки $N$, середины отрезка $CD$:
$\vec{XN} = \frac{1}{2}(\vec{XC} + \vec{XD})$
Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства и подставим в нее полученные выражения:
$\vec{XM} - \vec{XN} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XB}) - \frac{1}{2}(\vec{XC} + \vec{XD})$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\vec{XM} - \vec{XN} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XB} - \vec{XC} - \vec{XD})$
Сгруппируем слагаемые в скобках так, чтобы использовать правило вычитания векторов для получения векторов $\vec{DA}$ и $\vec{CB}$:
$\vec{XM} - \vec{XN} = \frac{1}{2}((\vec{XA} - \vec{XD}) + (\vec{XB} - \vec{XC}))$
Согласно правилу вычитания векторов:
$\vec{XA} - \vec{XD} = \vec{DA}$
$\vec{XB} - \vec{XC} = \vec{CB}$
Подставим эти выражения обратно в наше равенство:
$\vec{XM} - \vec{XN} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{CB})$
Заменив $\frac{1}{2}$ на $0.5$, мы получаем тождество, которое требовалось доказать:
$\vec{XM} - \vec{XN} = 0.5(\vec{DA} + \vec{CB})$

Ответ: Равенство доказано.

622. Даны векторы $\vec{a}(3; 4; 5)$ и $\vec{b}(1; 0; -1)$. Найдите скалярный квадрат суммы этих векторов.

Чтобы найти скалярный квадрат суммы векторов, необходимо сначала найти саму сумму векторов, а затем вычислить скалярный квадрат полученного вектора-суммы.

Даны векторы $\vec{a}(3; 4; 5)$ и $\vec{b}(1; 0; -1)$.

1. Найдем сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, обозначим ее как $\vec{c}$. Для этого сложим их соответствующие координаты:
$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (3+1; 4+0; 5+(-1)) = (4; 4; 4)$.

2. Теперь найдем скалярный квадрат вектора $\vec{c}$. Скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат. Он обозначается как $(\vec{c})^2$ или $|\vec{c}|^2$.
$(\vec{c})^2 = 4^2 + 4^2 + 4^2 = 16 + 16 + 16 = 48$.

Следовательно, скалярный квадрат суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 48.
Ответ: 48

623. Покажите, как можно вырезать развертку поверхности правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 дм, из квадратного листа картона со стороной, равной 2 дм. Чему равна площадь полной поверхности этой пирамиды?

Покажите, как можно вырезать развертку поверхности правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 дм, из квадратного листа картона со стороной, равной 2 дм

Развертка поверхности данной правильной четырехугольной пирамиды состоит из одного квадрата (основание) и четырех равносторонних треугольников (боковые грани). Поскольку все ребра пирамиды равны 1 дм, то сторона квадрата-основания равна 1 дм, и стороны треугольников-граней также равны 1 дм.

Стандартная развертка такой пирамиды имеет форму креста: центральный квадрат, к каждой стороне которого примыкает треугольник. Найдем габаритные размеры этой фигуры. Высота равностороннего треугольника со стороной $a=1$ дм вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

Если расположить развертку так, чтобы ее оси были параллельны сторонам листа картона, то ее полная ширина и высота составят $1 + 2 \cdot h = 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}$ дм.

Приближенное значение: $1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732$ дм. Это больше стороны листа картона (2 дм), поэтому при таком расположении развертка не поместится.

Однако развертку можно разместить на листе, повернув ее на 45°. При таком диагональном расположении максимальный габаритный размер развертки составит $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \approx \frac{2.732}{1.414} \approx 1.932$ дм. Поскольку $1.932 < 2$, развертка помещается на листе картона.

Таким образом, алгоритм вырезания следующий:
1. Находим центр квадратного листа картона 2х2 дм.
2. В центре листа чертим квадрат-основание со стороной 1 дм так, чтобы его диагонали были параллельны сторонам листа (то есть квадрат повернут на 45°).
3. На каждой стороне этого квадрата строим наружу равносторонний треугольник со стороной 1 дм.
4. Вырезаем полученную крестообразную фигуру по внешнему контуру.

Ответ: Крестообразную развертку пирамиды можно вырезать, если расположить ее на листе картона диагонально (повернув на 45° относительно краев листа).

Чему равна площадь полной поверхности этой пирамиды?

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{\text{полн}}$) складывается из площади основания ($S_{\text{осн}}$) и площади боковой поверхности ($S_{\text{бок}}$).
$S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$

1. Площадь основания. Основание — это квадрат со стороной $a = 1$ дм. Его площадь:
$S_{\text{осн}} = a^2 = 1^2 = 1$ дм$^2$.

2. Площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a = 1$ дм. Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) равна:
$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ дм$^2$.

Площадь всей боковой поверхности — это сумма площадей четырех треугольников:
$S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ дм$^2$.

3. Площадь полной поверхности. Сложим площади основания и боковой поверхности:
$S_{\text{полн}} = 1 + \sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ: $1 + \sqrt{3}$ дм$^2$.