Страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

594. Сосуд объемом $27\pi \text{ дм}^3$ имеет форму полушара, дополненного цилиндром. Радиус полушара равен 3 дм. Высота цилиндра равна:

1) 2 дм;

2) 1,5 дм;

3) 0,5 дм;

4) 1 дм;

5) $\sqrt{\pi}$ дм.

Общий объем сосуда $V_{общ}$ складывается из объема полушара $V_{пш}$ и объема цилиндра $V_{ц}$.

$V_{общ} = V_{пш} + V_{ц}$

Объем полушара вычисляется по формуле $V_{пш} = \frac{2}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус полушара. По условию, $R = 3$ дм. Найдем объем полушара:

$V_{пш} = \frac{2}{3}\pi \cdot (3)^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 27 = 2 \cdot 9\pi = 18\pi$ дм³.

Общий объем сосуда известен: $V_{общ} = 27\pi$ дм³. Теперь мы можем найти объем цилиндрической части:

$V_{ц} = V_{общ} - V_{пш} = 27\pi - 18\pi = 9\pi$ дм³.

Объем цилиндра также вычисляется по формуле $V_{ц} = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания цилиндра (равен радиусу полушара), а $h$ — искомая высота цилиндра.

Подставим известные значения в формулу объема цилиндра, чтобы найти высоту $h$:

$9\pi = \pi \cdot (3)^2 \cdot h$

$9\pi = 9\pi \cdot h$

Разделим обе части уравнения на $9\pi$:

$h = \frac{9\pi}{9\pi} = 1$ дм.

Высота цилиндра равна 1 дм, что соответствует варианту ответа 4).

Ответ: 1 дм.

596.Два металлических куба с ребрами 3,4 дм и 1,4 дм переплавлены в один куб. Сравните длину ребра этого куба с 3,5 дм.

Чтобы решить задачу, сначала найдем объемы двух металлических кубов. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.
1. Вычислим объем первого куба с ребром $a_1 = 3,4$ дм:
$V_1 = (3,4)^3 = 3,4 \times 3,4 \times 3,4 = 39,304$ дм$^3$.
2. Вычислим объем второго куба с ребром $a_2 = 1,4$ дм:
$V_2 = (1,4)^3 = 1,4 \times 1,4 \times 1,4 = 2,744$ дм$^3$.
Когда два куба переплавляют в один, их объемы складываются. Таким образом, объем нового куба ($V_{нов}$) будет равен сумме объемов первых двух кубов.
3. Найдем объем нового куба:
$V_{нов} = V_1 + V_2 = 39,304 + 2,744 = 42,048$ дм$^3$.
Теперь нам нужно найти длину ребра нового куба ($a_{нов}$) и сравнить ее с 3,5 дм. Длина ребра нового куба равна кубическому корню из его объема: $a_{нов} = \sqrt[3]{V_{нов}} = \sqrt[3]{42,048}$.
Чтобы сравнить $a_{нов}$ с 3,5, не обязательно вычислять корень. Мы можем сравнить объем нового куба с объемом куба, ребро которого равно 3,5 дм.
4. Вычислим объем куба с ребром 3,5 дм:
$V_{сравн} = (3,5)^3 = 3,5 \times 3,5 \times 3,5 = 42,875$ дм$^3$.
5. Сравним объемы:
$V_{нов} = 42,048$ дм$^3$, а $V_{сравн} = 42,875$ дм$^3$.
Поскольку $42,048 < 42,875$, то и объем нового куба меньше объема куба с ребром 3,5 дм. Следовательно, и ребро нового куба будет меньше 3,5 дм.
$a_{нов} < 3,5$ дм.
Ответ: Длина ребра нового куба меньше 3,5 дм.