Страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

635. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Угол между прямыми $A_1D$ и $D_1C$ равен:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $90^\circ$;

4) $120^\circ$;

5) $60^\circ$.

Прямые $A_1D$ и $D_1C$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, необходимо найти угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным. Для этого осуществим параллельный перенос одной из прямых.

В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ ребро $A_1D_1$ параллельно и равно ребру $BC$ (поскольку оба параллельны и равны ребру $AD$). Следовательно, четырехугольник $A_1BCD_1$ является параллелограммом по признаку (две стороны параллельны и равны). В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому прямая $D_1C$ параллельна прямой $A_1B$.

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $A_1D$ и $D_1C$ равен углу между пересекающимися прямыми $A_1D$ и $A_1B$. Эти прямые пересекаются в точке $A_1$, и искомый угол — это $\angle DA_1B$ в треугольнике $\triangle DA_1B$.

Найдем стороны этого треугольника. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Сторона $A_1D$ является диагональю квадрата-грани $AA_1D_1D$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора и равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Значит, $A_1D = a\sqrt{2}$.

Сторона $A_1B$ является диагональю квадрата-грани $AA_1B_1B$. Ее длина также равна $A_1B = a\sqrt{2}$.

Сторона $DB$ является диагональю квадрата-грани $ABCD$. Ее длина также равна $DB = a\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $\triangle DA_1B$ равны ($A_1D = A_1B = DB = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle DA_1B = 60^\circ$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $A_1D$ и $D_1C$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

636. Ребро правильного тетраэдра равно $\sqrt{2}$ дм. Расстояние между двумя его ребрами, лежащими на скрещивающихся прямых, равно:

1) 1 дм;

2) 1,5 дм;

3) 0,5$\sqrt{2}$ дм;

4) 0,3$\sqrt{3}$ дм;

5) 2 дм.

Решение:

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Все шесть ребер правильного тетраэдра равны между собой. По условию, длина ребра $a = \sqrt{2}$ дм.

Необходимо найти расстояние между двумя скрещивающимися ребрами. В тетраэдре DABC скрещивающимися являются, например, ребра DA и BC. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Для правильного тетраэдра общий перпендикуляр к двум скрещивающимся ребрам соединяет их середины. Пусть M – середина ребра DA, а N – середина ребра BC. Отрезок MN является общим перпендикуляром к ребрам DA и BC. Докажем это.

1. В равностороннем треугольнике ABC отрезок AN является медианой, а следовательно, и высотой. Таким образом, $AN \perp BC$.
2. Аналогично, в равностороннем треугольнике DBC отрезок DN является медианой и высотой. Таким образом, $DN \perp BC$.
3. Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AN и DN, лежащим в плоскости ADN, то прямая BC перпендикулярна всей плоскости ADN. Так как отрезок MN лежит в этой плоскости, то $MN \perp BC$.
4. Рассмотрим треугольник ADN. Его стороны AN и DN являются высотами в равных равносторонних треугольниках ABC и DBC, поэтому $AN = DN$. Следовательно, треугольник ADN – равнобедренный с основанием AD. В этом треугольнике отрезок MN является медианой, проведенной к основанию, а значит, и высотой. Таким образом, $MN \perp DA$.

Мы доказали, что MN является общим перпендикуляром к прямым DA и BC, поэтому его длина и есть искомое расстояние.

Теперь вычислим длину MN.

Сначала найдем длину высоты AN в равностороннем треугольнике ABC со стороной $a = \sqrt{2}$. Формула высоты равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$AN = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ дм.

Точка M является серединой ребра DA, поэтому длина отрезка AM равна половине длины ребра:
$AM = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дм.

Рассмотрим треугольник AMN. Так как $MN \perp DA$, этот треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине M. По теореме Пифагора: $AN^2 = AM^2 + MN^2$

Выразим из этого уравнения $MN^2$ и подставим известные значения: $MN^2 = AN^2 - AM^2 = (\frac{\sqrt{6}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6}{4} - \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Отсюда находим длину MN: $MN = \sqrt{1} = 1$ дм.

Таким образом, расстояние между двумя скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра равно 1 дм. Этот результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 1 дм.

637. Даны ромб $ABCD$ со стороной $4\sqrt{2}$ дм и углом $45^\circ$ и равносторонний треугольник $DCE$. Если расстояние от точки $E$ до прямой $AB$ равно $2\sqrt{10}$ дм, то угол между плоскостями $ABC$ и $DCE$ равен:

1) $90^\circ$;

2) $60^\circ$;

3) $45^\circ$;

4) $30^\circ$;

5) $\arccos \frac{1}{2\sqrt{6}}$.

Для решения задачи найдем искомый угол $\phi$ между плоскостями ромба $ABC$ и треугольника $DCE$ с помощью геометрического метода. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $DC$.

1. Построим линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями. Для этого в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры к общей прямой $DC$ из одной точки.

2. В плоскости треугольника $DCE$ проведем высоту $EM$. Так как треугольник $DCE$ равносторонний со стороной, равной стороне ромба $a = 4\sqrt{2}$ дм, то $EM$ является также медианой, и точка $M$ — середина $DC$. Длина высоты $EM$ равна:$EM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}$ дм.По построению, $EM \perp DC$.

3. В плоскости ромба $ABCD$ из точки $M$ проведем перпендикуляр к прямой $DC$. Так как в ромбе противоположные стороны параллельны ($AB \parallel DC$), этот перпендикуляр будет также перпендикулярен прямой $AB$. Его длина равна высоте ромба $h_{ABCD}$.Высоту ромба найдем по формуле:$h_{ABCD} = a \cdot \sin(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$ дм.Пусть $N$ — точка на прямой $AB$, такая что $MN \perp DC$. Тогда $MN = 4$ дм.

4. Угол $\phi$ между плоскостями $(ABC)$ и $(DCE)$ равен углу между перпендикулярами $EM$ и $MN$, проведенными к линии их пересечения $DC$. То есть, $\phi = \angle EMN$.

5. Рассмотрим проекцию $E'$ точки $E$ на плоскость ромба $(ABC)$. Так как $EM$ — наклонная к плоскости $(ABC)$, а $MN$ — ее проекция (поскольку $MN$ лежит в плоскости ромба и проходит через основание наклонной $M$), то $E'$ будет лежать на прямой $MN$. Треугольник $\triangle EME'$ — прямоугольный ($\angle EE'M = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• Гипотенуза $EM = 2\sqrt{6}$ дм.
• Катет $EE' = EM \cdot \sin\phi = 2\sqrt{6}\sin\phi$ (расстояние от $E$ до плоскости ромба).
• Катет $ME' = EM \cdot \cos\phi = 2\sqrt{6}\cos\phi$.

6. По условию, расстояние от точки $E$ до прямой $AB$ равно $2\sqrt{10}$ дм. Обозначим это расстояние $d(E, AB)$. Пусть $K$ — точка на $AB$ такая, что $EK \perp AB$. Тогда $EK = 2\sqrt{10}$ дм.

7. Применим теорему о трех перпендикулярах. $EK$ — наклонная к плоскости $(ABC)$, $E'K$ — ее проекция. Так как $EK \perp AB$, то и $E'K \perp AB$.Расстояние от точки $E'$ (лежащей на прямой $MN$) до прямой $AB$ равно длине отрезка $E'N$, так как $MN \perp AB$. Следовательно, $E'K = E'N$.Длина $E'N$ может быть найдена как $|MN - ME'|$ или $|MN + ME'|$, в зависимости от расположения точки $E'$. В любом случае, $E'N = |4 \pm 2\sqrt{6}\cos\phi|$.

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle EE'K$ (он же $\triangle EE'N$). По теореме Пифагора $EK^2 = (EE')^2 + (E'N)^2$. Подставим известные значения:$(2\sqrt{10})^2 = (2\sqrt{6}\sin\phi)^2 + (4 \pm 2\sqrt{6}\cos\phi)^2$$40 = 24\sin^2\phi + (16 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi + 24\cos^2\phi)$$40 = 24\sin^2\phi + 24\cos^2\phi + 16 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$$40 = 24(\sin^2\phi + \cos^2\phi) + 16 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$$40 = 24 \cdot 1 + 16 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$$40 = 40 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$

Отсюда получаем:$0 = \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$$\cos\phi = 0$

Так как $\phi$ — угол между плоскостями, то $0^\circ \le \phi \le 180^\circ$. Единственное решение уравнения $\cos\phi = 0$ на этом промежутке — $\phi = 90^\circ$.

Ответ: 1) 90°.

638. Даны двугранный угол 60° и точка, удаленная от его граней на 3 см и 9 см. Расстояние от этой точки до его ребра равно:

1) 12 см;

2) 12,5 см;

3) $2\sqrt{39}$ см;

4) $5\sqrt{6}$ см;

5) $4\sqrt{10}$ см.

Для решения задачи рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, которая перпендикулярна его ребру и проходит через заданную точку. В этой плоскости сечение представляет собой плоский угол величиной $60^\circ$. Обозначим вершину этого угла как O (точка на ребре), а стороны угла — как лучи, лежащие в гранях двугранного угла. Данная точка, обозначим ее M, будет лежать внутри этого плоского угла.

Расстояние от точки до плоскости (грани) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. В нашем сечении это будут перпендикуляры из точки M на стороны угла. Пусть MP и MQ — перпендикуляры, опущенные из точки M на стороны угла. Согласно условию, их длины равны $MP = 3$ см и $MQ = 9$ см. Искомое расстояние от точки M до ребра двугранного угла есть длина отрезка MO.

Рассмотрим четырехугольник OPMQ. В нем углы $\angle OPM$ и $\angle OQM$ являются прямыми ($90^\circ$), так как MP и MQ — это перпендикуляры. Угол при вершине O равен $60^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике составляет $360^\circ$, поэтому мы можем найти угол $\angle PMQ$:

$\angle PMQ = 360^\circ - \angle POQ - \angle OPM - \angle OQM = 360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник PMQ. Нам известны две его стороны ($MP=3$, $MQ=9$) и угол между ними ($\angle PMQ=120^\circ$). Мы можем найти длину третьей стороны PQ по теореме косинусов:

$PQ^2 = MP^2 + MQ^2 - 2 \cdot MP \cdot MQ \cdot \cos(\angle PMQ)$

$PQ^2 = 3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos(120^\circ) = 9 + 81 - 54 \cdot (-\frac{1}{2}) = 90 + 27 = 117$.

Отсюда $PQ = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$ см.

В четырехугольнике OPMQ сумма противоположных углов $\angle OPM + \angle OQM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это свойство вписанного четырехугольника, то есть вокруг OPMQ можно описать окружность. Поскольку углы $\angle OPM$ и $\angle OQM$ прямые, они опираются на диаметр этой окружности. Следовательно, отрезок MO является диаметром окружности, описанной также и около треугольника PMQ.

По следствию из теоремы синусов для треугольника PMQ, диаметр описанной окружности равен отношению длины стороны к синусу противолежащего угла:

$MO = \frac{PQ}{\sin(\angle PMQ)}$

Подставим известные значения:

$MO = \frac{3\sqrt{13}}{\sin(120^\circ)} = \frac{3\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{39}}{3} = 2\sqrt{39}$ см.

Данный результат соответствует варианту ответа 3).

Ответ: $2\sqrt{39}$ см.

639. Объем прямой треугольной призмы, каждое ребро которой равно $\sqrt{3}$ дм, равен:

1) 4,5 дм$^3$;

2) 3 дм$^3$;

3) 1,5 дм$^3$;

4) 2,25 дм$^3$;

5) 2,75 дм$^3$.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{base} \cdot h$, где $S_{base}$ – площадь основания, а $h$ – высота призмы.По условию задачи, призма является прямой треугольной, и каждое ее ребро равно $a = \sqrt{3}$ дм.Это означает, что в основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = \sqrt{3}$ дм.Высота прямой призмы $h$ равна ее боковому ребру, следовательно, $h = \sqrt{3}$ дм.Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{base} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.Подставим значение стороны $a = \sqrt{3}$ дм в эту формулу, чтобы найти площадь основания:$S_{base} = \frac{(\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ дм².Теперь вычислим объем призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:$V = S_{base} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4}$ дм³.Для сравнения с вариантами ответов представим результат в виде десятичной дроби:$V = \frac{9}{4} = 2,25$ дм³.Данное значение соответствует варианту ответа 4).Ответ: 2,25 дм³.

640. Стороны основания наклонного параллелепипеда 2 дм и $\sqrt{2}$ дм, а угол между ними 135°. Диагональное сечение параллелепипеда, содержащее большую диагональ основания, перпендикулярно ему и является ромбом. Если боковое ребро параллелепипеда наклонено к основанию под углом 45°, то его объем равен:

1) $4\sqrt{5}$ дм$^{3}$;

2) $2\sqrt{10}$ дм$^{3}$;

3) 2 дм$^{3}$;

4) 4 дм$^{3}$;

5) $2\sqrt{5}$ дм$^{3}$.

1. Нахождение площади основания
Основанием наклонного параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 2$ дм, $b = \sqrt{2}$ дм и углом между ними $\alpha = 135^\circ$. Площадь основания ($S_{осн}$) вычисляется по формуле площади параллелограмма:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения, учитывая, что $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$S_{осн} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2$ дм².

2. Нахождение большей диагонали основания
Для определения большей диагонали основания воспользуемся теоремой косинусов. В параллелограмме два угла: $135^\circ$ и $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Большая диагональ ($d_{большая}$) лежит напротив большего (тупого) угла.

$d_{большая}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(135^\circ)$

Подставим значения, учитывая, что $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$d_{большая}^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 + 2 + 4 \cdot \frac{2}{2} = 6 + 4 = 10$

Отсюда, $d_{большая} = \sqrt{10}$ дм.

3. Нахождение длины бокового ребра
В условии сказано, что диагональное сечение, содержащее большую диагональ основания, является ромбом. Сторонами этого сечения являются большая диагональ основания ($d_{большая}$) и боковое ребро параллелепипеда ($l$). В ромбе все стороны равны, следовательно:

$l = d_{большая} = \sqrt{10}$ дм.

4. Нахождение высоты параллелепипеда
Высота параллелепипеда ($H$) может быть найдена через длину бокового ребра ($l$) и угол его наклона к плоскости основания ($\beta = 45^\circ$).

$H = l \cdot \sin(\beta)$

Подставим известные значения:

$H = \sqrt{10} \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$ дм.

5. Нахождение объема параллелепипеда
Объем ($V$) наклонного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

$V = S_{осн} \cdot H$

$V = 2 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ дм³.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 5.

Ответ: $2\sqrt{5}$ дм³.