Номер 635, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

635. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Угол между прямыми $A_1D$ и $D_1C$ равен:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $90^\circ$;

4) $120^\circ$;

5) $60^\circ$.

Прямые $A_1D$ и $D_1C$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, необходимо найти угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным. Для этого осуществим параллельный перенос одной из прямых.

В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ ребро $A_1D_1$ параллельно и равно ребру $BC$ (поскольку оба параллельны и равны ребру $AD$). Следовательно, четырехугольник $A_1BCD_1$ является параллелограммом по признаку (две стороны параллельны и равны). В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому прямая $D_1C$ параллельна прямой $A_1B$.

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $A_1D$ и $D_1C$ равен углу между пересекающимися прямыми $A_1D$ и $A_1B$. Эти прямые пересекаются в точке $A_1$, и искомый угол — это $\angle DA_1B$ в треугольнике $\triangle DA_1B$.

Найдем стороны этого треугольника. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Сторона $A_1D$ является диагональю квадрата-грани $AA_1D_1D$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора и равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Значит, $A_1D = a\sqrt{2}$.

Сторона $A_1B$ является диагональю квадрата-грани $AA_1B_1B$. Ее длина также равна $A_1B = a\sqrt{2}$.

Сторона $DB$ является диагональю квадрата-грани $ABCD$. Ее длина также равна $DB = a\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $\triangle DA_1B$ равны ($A_1D = A_1B = DB = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle DA_1B = 60^\circ$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $A_1D$ и $D_1C$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.