Номер 634, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

634. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна $m$, а острый угол – $\alpha$. Каждый двугранный угол пирамиды при стороне ее основания равен $\beta$ (рисунок 189). Докажите, что в эту пирамиду можно вписать шар и найдите его радиус.

Рисунок 189

Доказательство, что в эту пирамиду можно вписать шар

Пусть $PABCD$ - данная пирамида, где $ABCD$ - ромб со стороной $m$ и острым углом $α$. Пусть $PH$ - высота пирамиды, где $H$ - проекция вершины $P$ на плоскость основания.

Для измерения двугранного угла при стороне основания, например, $AB$, опустим из точки $H$ перпендикуляр $HM$ на сторону $AB$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах $PM$ также будет перпендикулярен $AB$ ($PM \perp AB$). Угол $∠PMH$ является линейным углом двугранного угла при стороне основания $AB$, и по условию $∠PMH = β$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды $PH$ и перпендикулярами, опущенными из точки $H$ на стороны ромба. Для стороны $AB$ это треугольник $ΔPHM$. Из него находим $HM = PH \cdot \cot(β)$.

Так как по условию все двугранные углы при сторонах основания равны $β$, то расстояния от точки $H$ до всех сторон ромба ($AB, BC, CD, DA$) будут одинаковыми и равными $HM = PH \cdot \cot(β)$.

Точка в плоскости многоугольника, равноудаленная от всех его сторон, является центром вписанной в этот многоугольник окружности. Следовательно, точка $H$ - центр окружности, вписанной в ромб $ABCD$.

Теорема о вписанном шаре гласит, что в пирамиду можно вписать шар тогда и только тогда, когда ее вершина проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Поскольку это условие выполняется, в данную пирамиду можно вписать шар. Что и требовалось доказать.

Нахождение радиуса вписанного шара

Центр вписанного шара $O$ лежит на высоте пирамиды $PH$. Шар касается основания в точке $H$ и боковой грани (например, $PAB$) в некоторой точке на апофеме $PM$. Радиус шара $r$ равен расстоянию от центра $O$ до любой грани. Таким образом, $OH = r$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $PH$ и апофему $PM$. В этой плоскости лежит прямоугольный треугольник $ΔPHM$. Центр вписанного шара $O$ будет центром окружности, вписанной в треугольник, образованный высотой пирамиды и двумя апофемами к противоположным сторонам основания. Этот центр лежит на пересечении высоты $PH$ и биссектрисы угла $∠PMH$.

Таким образом, $OM$ является биссектрисой угла $∠PMH$, и $∠OMH = \frac{β}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ΔOHM$ ($∠OHM = 90^\circ$):
$\tan(∠OMH) = \frac{OH}{HM}$
$\tan(\frac{β}{2}) = \frac{r}{HM}$
Отсюда $r = HM \cdot \tan(\frac{β}{2})$.

$HM$ - это радиус окружности, вписанной в ромб $ABCD$. Найдем его.Площадь ромба $S_{ABCD}$ можно выразить двумя способами:
1. Через сторону и угол: $S_{ABCD} = m^2 \sin(α)$.
2. Через полупериметр и радиус вписанной окружности: $S_{ABCD} = p \cdot HM$, где $p = \frac{4m}{2} = 2m$.

Приравнивая эти два выражения, получаем:
$2m \cdot HM = m^2 \sin(α)$
$HM = \frac{m^2 \sin(α)}{2m} = \frac{m \sin(α)}{2}$

Теперь подставим найденное значение $HM$ в формулу для радиуса шара $r$:
$r = \frac{m \sin(α)}{2} \cdot \tan(\frac{β}{2})$

Ответ: $r = \frac{m \sin(\alpha)}{2} \tan(\frac{\beta}{2})$.