Номер 630, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Повторение курса геометрии 10-11 классов - номер 630, страница 176.

Условие.

630. В треугольной пирамиде все плоские углы при ее вершине – прямые, а боковые ребра равны $2\sqrt{2}$ см, 3 см и $\sqrt{10}$ см. Найдите площадь поверхности и объем описанного около этой пирамиды шара.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть вершина пирамиды, в которой все плоские углы прямые, является началом координат $S(0,0,0)$ в трехмерной декартовой системе координат. Тогда боковые ребра пирамиды можно расположить вдоль осей координат. Обозначим длины боковых ребер как $a = 2\sqrt{2}$ см, $b = 3$ см и $c = \sqrt{10}$ см. Вершины основания пирамиды будут иметь координаты $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$ и $C(0, 0, c)$.

Такую пирамиду можно достроить до прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из вершины $S$, равны $a, b, c$. Шар, описанный около пирамиды, является также и шаром, описанным около этого прямоугольного параллелепипеда.

Центр описанного шара совпадает с центром параллелепипеда (точкой пересечения его диагоналей), а диаметр шара $D$ равен длине главной диагонали параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:$D^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Подставим данные значения длин боковых ребер:$D^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 + (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 2 + 9 + 10 = 8 + 9 + 10 = 27$.

Тогда диаметр шара равен $D = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.Радиус описанного шара $R$ равен половине его диаметра:$R = \frac{D}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь мы можем найти площадь поверхности и объем шара.

Площадь поверхности шара
Площадь поверхности шара $S_{сферы}$ вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$.Подставим найденное значение радиуса:$S_{сферы} = 4\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4\pi \left(\frac{9 \cdot 3}{4}\right) = 4\pi \cdot \frac{27}{4} = 27\pi$ см².
Ответ: $27\pi$ см².

Объем шара
Объем шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.Подставим найденное значение радиуса:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3^3 \cdot (\sqrt{3})^3}{2^3}\right) = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{27 \cdot 3\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{81\sqrt{3}}{8}$.Сокращая дроби, получаем:$V_{шара} = \frac{4 \cdot 81\sqrt{3}}{3 \cdot 8}\pi = \frac{1 \cdot 27\sqrt{3}}{1 \cdot 2}\pi = \frac{27\sqrt{3}}{2}\pi$ см³.
Ответ: $\frac{27\sqrt{3}}{2}\pi$ см³.