Номер 626, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

626. Основание пирамиды $DABC - \triangle ABC$, в котором $AB = AC = 25$ см, $BC = 40$ см. Грань $BCD$ перпендикулярна основанию. Расстояние от основания высоты $DM$ пирамиды до грани $ACD$ равно $6\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Анализ основания и геометрии пирамиды.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = AC = 25$ см и $BC = 40$ см. Проведем высоту $AK$ к основанию $BC$ в треугольнике $ABC$. Так как треугольник равнобедренный, $AK$ является также медианой, поэтому $K$ – середина $BC$, и $BK = KC = BC/2 = 40/2 = 20$ см. Из прямоугольного треугольника $AKC$ по теореме Пифагора найдем высоту $AK$: $AK = \sqrt{AC^2 - KC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$ см.

По условию, грань $BCD$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Высота пирамиды $DM$ опущена из вершины $D$ на плоскость основания. Так как $D$ лежит в плоскости $BCD$ и $DM \perp (ABC)$, то основание высоты $M$ должно лежать на линии пересечения плоскостей, то есть на прямой $BC$. Таким образом, высота пирамиды $DM$ является также высотой треугольника $BCD$, проведенной к стороне $BC$. Обозначим высоту пирамиды $H = DM$.

2. Нахождение высоты пирамиды.

Для нахождения расстояния от точки $M$ до плоскости грани $ACD$ используем метод перпендикуляров. Проведем из точки $M$ в плоскости основания перпендикуляр $MP$ к прямой $AC$. Так как $DM \perp (ABC)$, то $DM \perp AC$. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DM$ и $MP$ в плоскости $DMP$, то $AC \perp (DMP)$. Следовательно, плоскость $ACD$ перпендикулярна плоскости $DMP$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $ACD$ – это длина перпендикуляра $MQ$, опущенного из $M$ на линию пересечения этих плоскостей, то есть на прямую $DP$. Таким образом, $MQ \perp DP$, и по условию $MQ = 6\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DMP$ (угол $DMP = 90^\circ$). $DM = H$ – высота пирамиды, $MP$ – расстояние от $M$ до $AC$. $MQ$ – высота, проведенная к гипотенузе $DP$. Для такого треугольника справедливо соотношение: $ \frac{1}{MQ^2} = \frac{1}{DM^2} + \frac{1}{MP^2} $

Найдем длину $MP$. В плоскости основания рассмотрим треугольники $MPC$ и $AKC$. Они оба прямоугольные ($\angle MPC = \angle AKC = 90^\circ$) и имеют общий угол $C$. Следовательно, $\triangle MPC \sim \triangle AKC$. Из подобия следует: $\frac{MP}{AK} = \frac{MC}{AC}$. Отсюда $MP = \frac{AK \cdot MC}{AC} = \frac{15 \cdot MC}{25} = \frac{3}{5}MC$.

Подставим все в формулу для высоты: $ \frac{1}{(6\sqrt{2})^2} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{(\frac{3}{5}MC)^2} \implies \frac{1}{72} = \frac{1}{H^2} + \frac{25}{9 \cdot MC^2} $

Так как в условии не дано положение точки $M$ на $BC$, а задача должна иметь единственное решение, следует предположить симметричность конструкции относительно плоскости $ADK$ (где $K$ - середина $BC$), что обусловлено равнобедренным треугольником в основании. В этом случае точка $M$ совпадает с точкой $K$. Тогда $MC = KC = 20$ см. Подставим это значение: $ \frac{1}{72} = \frac{1}{H^2} + \frac{25}{9 \cdot 20^2} = \frac{1}{H^2} + \frac{25}{9 \cdot 400} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{9 \cdot 16} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{144} $ $ \frac{1}{H^2} = \frac{1}{72} - \frac{1}{144} = \frac{2}{144} - \frac{1}{144} = \frac{1}{144} $ $ H^2 = 144 \implies H = 12 $ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей граней $BCD$, $ACD$ и $ABD$. $S_{бок} = S_{BCD} + S_{ACD} + S_{ABD}$.

Площадь грани BCD: Эта грань является треугольником с основанием $BC=40$ см и высотой $DM=DK=H=12$ см. $ S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 240 $ см².

Площади граней ACD и ABD: Поскольку $M=K$, пирамида симметрична, и грани $ACD$ и $ABD$ равны, их площади также равны. Найдем площадь $S_{ACD}$. $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DP$, где $DP$ - апофема (высота грани $ACD$, проведенная к стороне $AC$). $DP$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $DKP$, где $DK = H = 12$ см. Найдем катет $KP$. Так как $M=K$, то $MP=KP$. Из подобия $\triangle KPC \sim \triangle AKC$: $ KP = \frac{AK \cdot KC}{AC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12 $ см. Теперь по теореме Пифагора для $\triangle DKP$: $ DP = \sqrt{DK^2 + KP^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2} $ см. Теперь найдем площадь грани $ACD$: $ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DP = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 12\sqrt{2} = 150\sqrt{2} $ см². Так как $S_{ABD} = S_{ACD}$, то $S_{ABD} = 150\sqrt{2}$ см².

Общая площадь боковой поверхности: $ S_{бок} = S_{BCD} + S_{ACD} + S_{ABD} = 240 + 150\sqrt{2} + 150\sqrt{2} = 240 + 300\sqrt{2} $ см².

Ответ: $240 + 300\sqrt{2}$ см².