Номер 633, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

633. a) В конус с высотой 0,5 м и радиусом основания 1 м вписан цилиндр с радиусом основания $r$ м. Найдите объем цилиндра и установите, при каком значении $r$ объем цилиндра наибольший.

б) В шар радиуса 3 дм вписан конус, высота которого равна $h$ дм. Найдите объем конуса и установите, при каком значении $h$ объем будет наибольшим.

а)

Пусть $H$ и $R$ — высота и радиус основания конуса, а $h$ и $r$ — высота и радиус основания вписанного цилиндра. По условию, $H = 0,5$ м и $R = 1$ м.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H$ и основанием $2R$. Сечение вписанного цилиндра — прямоугольник с высотой $h$ и стороной $2r$.

Из подобия треугольников в осевом сечении (прямоугольного треугольника, образованного высотой и образующей конуса, и подобного ему меньшего треугольника над цилиндром) получаем соотношение:

$\frac{H - h}{r} = \frac{H}{R}$

Из этого соотношения выразим высоту цилиндра $h$ через его радиус $r$ и параметры конуса:

$h = H \cdot (1 - \frac{r}{R})$

Подставим заданные значения $H = 0,5$ и $R = 1$:

$h = 0,5 \cdot (1 - \frac{r}{1}) = 0,5(1 - r)$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h$. Подставив найденное выражение для $h$, получим формулу объема цилиндра как функцию его радиуса $r$:

$V(r) = \pi r^2 \cdot 0,5(1 - r) = 0,5\pi(r^2 - r^3)$

Радиус $r$ может принимать значения в интервале $(0, R)$, то есть $r \in (0, 1)$.

Для нахождения значения $r$, при котором объем цилиндра будет наибольшим, исследуем функцию $V(r)$ на экстремум. Найдем производную функции $V(r)$ по переменной $r$:

$V'(r) = \frac{d}{dr}(0,5\pi(r^2 - r^3)) = 0,5\pi(2r - 3r^2)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$0,5\pi(2r - 3r^2) = 0$

$r(2 - 3r) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения: $r = 0$ или $r = \frac{2}{3}$. Значение $r=0$ не соответствует реальному цилиндру и дает минимальный объем. Значение $r = \frac{2}{3}$ м находится в допустимом интервале $(0, 1)$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, можно проанализировать знак производной. При $0 < r < \frac{2}{3}$ производная $V'(r) > 0$, следовательно, функция возрастает. При $\frac{2}{3} < r < 1$ производная $V'(r) < 0$, следовательно, функция убывает. Таким образом, при $r = \frac{2}{3}$ достигается максимум функции объема.

Ответ: Объем цилиндра как функция его радиуса $r$ равен $V(r) = 0,5\pi(r^2 - r^3)$. Объем цилиндра является наибольшим при значении радиуса $r = \frac{2}{3}$ м.

б)

Пусть $R_{ш}$ — радиус шара, а $h$ и $r_{к}$ — высота и радиус основания вписанного конуса. По условию, $R_{ш} = 3$ дм.

Рассмотрим осевое сечение. Сечение шара — это круг радиуса $R_{ш}$. Сечение конуса — равнобедренный треугольник, вписанный в этот круг.

Свяжем радиус основания конуса $r_{к}$ с его высотой $h$. В осевом сечении рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R_{ш}$ (гипотенуза), радиусом основания конуса $r_{к}$ (катет) и расстоянием от центра шара до плоскости основания конуса (второй катет). Это расстояние равно $|h - R_{ш}|$.

По теореме Пифагора:

$r_{к}^2 + (h - R_{ш})^2 = R_{ш}^2$

Выразим $r_{к}^2$:

$r_{к}^2 = R_{ш}^2 - (h - R_{ш})^2 = R_{ш}^2 - (h^2 - 2hR_{ш} + R_{ш}^2) = 2hR_{ш} - h^2$

Подставим заданное значение $R_{ш} = 3$:

$r_{к}^2 = 2 \cdot 3 \cdot h - h^2 = 6h - h^2$

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{к} = \frac{1}{3}\pi r_{к}^2 h$. Подставив найденное выражение для $r_{к}^2$, получим формулу объема конуса как функцию его высоты $h$:

$V(h) = \frac{1}{3}\pi (6h - h^2)h = \frac{\pi}{3}(6h^2 - h^3)$

Высота конуса $h$ может принимать значения в интервале $(0, 2R_{ш})$, то есть $h \in (0, 6)$.

Для нахождения значения $h$, при котором объем конуса будет наибольшим, найдем производную функции $V(h)$ по переменной $h$:

$V'(h) = \frac{d}{dh}(\frac{\pi}{3}(6h^2 - h^3)) = \frac{\pi}{3}(12h - 3h^2)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\frac{\pi}{3}(12h - 3h^2) = 0$

$3h(4 - h) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения: $h = 0$ или $h = 4$. Значение $h=0$ не соответствует реальному конусу и дает минимальный объем. Значение $h = 4$ дм находится в допустимом интервале $(0, 6)$.

Производная $V'(h)$ является квадратичной функцией (парабола с ветвями вниз) и положительна на интервале $(0, 4)$ и отрицательна на интервале $(4, 6)$. Следовательно, функция $V(h)$ возрастает на $(0, 4)$ и убывает на $(4, 6)$, а значит, при $h = 4$ достигается максимум.

Ответ: Объем конуса как функция его высоты $h$ равен $V(h) = \frac{\pi}{3}(6h^2 - h^3)$. Объем конуса является наибольшим при значении высоты $h = 4$ дм.