Номер 631, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

631. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите отношение объема тетраэдра $B_1 ACD_1$ к объему этого параллелепипеда.

Пусть $V$ — объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту. Если $S$ — площадь основания $ABCD$ и $h$ — высота параллелепипеда, то $V = S \cdot h$.

Объем искомого тетраэдра $B_1ACD_1$ найдем методом вычитания. Его объем равен объему параллелепипеда за вычетом объемов четырех тетраэдров, которые расположены по углам параллелепипеда. Эти тетраэдры: $B_1ABC$, $D_1ADC$, $AA_1B_1D_1$ и $CC_1B_1D_1$.

Объем тетраэдра (треугольной пирамиды) вычисляется по формуле $V_{тетр} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.

Найдем объем одного из этих тетраэдров, например, $B_1ABC$. Его можно рассматривать как пирамиду с вершиной $B_1$ и основанием $\triangle ABC$. Площадь основания $S_{ABC}$ равна половине площади основания параллелепипеда: $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{S}{2}$. Высота этой пирамиды, проведенная из вершины $B_1$ к плоскости основания $ABC$, равна высоте параллелепипеда $h$.
Таким образом, объем тетраэдра $B_1ABC$ равен: $V_1 = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{S}{2}\right) \cdot h = \frac{1}{6} S \cdot h = \frac{1}{6}V$.

Аналогично, все четыре "угловых" тетраэдра ($B_1ABC$, $D_1ADC$, $AA_1B_1D_1$, $CC_1B_1D_1$) имеют одинаковый объем, равный $\frac{1}{6}V$. Например, для тетраэдра $AA_1B_1D_1$ основанием является $\triangle A_1B_1D_1$ с площадью $\frac{S}{2}$, а высотой — $h$.

Суммарный объем этих четырех тетраэдров составляет: $V_{выч} = 4 \cdot \frac{1}{6}V = \frac{4}{6}V = \frac{2}{3}V$.

Объем тетраэдра $B_1ACD_1$ равен разности объема параллелепипеда и суммарного объема четырех "угловых" тетраэдров:
$V_{B_1ACD_1} = V - V_{выч} = V - \frac{2}{3}V = \frac{1}{3}V$.

Следовательно, искомое отношение объема тетраэдра к объему параллелепипеда равно:
$\frac{V_{B_1ACD_1}}{V} = \frac{\frac{1}{3}V}{V} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.