Номер 636, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

636. Ребро правильного тетраэдра равно $\sqrt{2}$ дм. Расстояние между двумя его ребрами, лежащими на скрещивающихся прямых, равно:

1) 1 дм;

2) 1,5 дм;

3) 0,5$\sqrt{2}$ дм;

4) 0,3$\sqrt{3}$ дм;

5) 2 дм.

Решение:

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Все шесть ребер правильного тетраэдра равны между собой. По условию, длина ребра $a = \sqrt{2}$ дм.

Необходимо найти расстояние между двумя скрещивающимися ребрами. В тетраэдре DABC скрещивающимися являются, например, ребра DA и BC. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Для правильного тетраэдра общий перпендикуляр к двум скрещивающимся ребрам соединяет их середины. Пусть M – середина ребра DA, а N – середина ребра BC. Отрезок MN является общим перпендикуляром к ребрам DA и BC. Докажем это.

1. В равностороннем треугольнике ABC отрезок AN является медианой, а следовательно, и высотой. Таким образом, $AN \perp BC$.
2. Аналогично, в равностороннем треугольнике DBC отрезок DN является медианой и высотой. Таким образом, $DN \perp BC$.
3. Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AN и DN, лежащим в плоскости ADN, то прямая BC перпендикулярна всей плоскости ADN. Так как отрезок MN лежит в этой плоскости, то $MN \perp BC$.
4. Рассмотрим треугольник ADN. Его стороны AN и DN являются высотами в равных равносторонних треугольниках ABC и DBC, поэтому $AN = DN$. Следовательно, треугольник ADN – равнобедренный с основанием AD. В этом треугольнике отрезок MN является медианой, проведенной к основанию, а значит, и высотой. Таким образом, $MN \perp DA$.

Мы доказали, что MN является общим перпендикуляром к прямым DA и BC, поэтому его длина и есть искомое расстояние.

Теперь вычислим длину MN.

Сначала найдем длину высоты AN в равностороннем треугольнике ABC со стороной $a = \sqrt{2}$. Формула высоты равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$AN = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ дм.

Точка M является серединой ребра DA, поэтому длина отрезка AM равна половине длины ребра:
$AM = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дм.

Рассмотрим треугольник AMN. Так как $MN \perp DA$, этот треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине M. По теореме Пифагора: $AN^2 = AM^2 + MN^2$

Выразим из этого уравнения $MN^2$ и подставим известные значения: $MN^2 = AN^2 - AM^2 = (\frac{\sqrt{6}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6}{4} - \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Отсюда находим длину MN: $MN = \sqrt{1} = 1$ дм.

Таким образом, расстояние между двумя скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра равно 1 дм. Этот результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 1 дм.